@@ottogal > > Dass Du meine mühsame Argumentation zu den Rändern einfach mit "die Ränder fallen im Unendlichen eh weg" zusammenfasst, tja, so mutig war ich nicht. > > Finde ich auch etwas kühn... Ich finde es ausreichend einleuchtend. Aber wer’s nochmal vorgerechnet haben will: [](/images/5111ff1c-1b5b-11eb-aa71-b42e9947ef30.png) Die Skizze ist gemalt für *N* = 3. Die Ebene eingeteilt in Dreiecke; davon gibt es verschiedene Arten: weiß: : das Innere. Davon gibt es 1 + 3 + 5 + … + 2*N* − 1 = *N*². Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₀ = ⅙π √3 ≈ 90.69%. Die Dreiecke liegen vollständig innerhalb des großen Dreiecks, *a*₀ = 1. grün: : an den Kanten. Davon gibt es *3N* (von den Dreiecken, nicht von den Kanten). Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₁. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₁. blau: : an den Kanten. Davon gibt es 3(*N* + 1). Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₂. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₂. rot: : an den Ecken. Davon gibt es 3. Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₃. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₃. baun: : an den Ecken. Davon gibt es 3. Keine Kreissektoren, *p*₄ = 0. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₄. Das gesuchte Verhältnis *p* ist nun das gewichtete Mittel $$p = \frac{N^2 a_0}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_0 + \frac{3Na_1}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_1 + \frac{3(N+1)a_2}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_2 + \frac{3a_3}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_3 + \frac{3a_4}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_4$$ $$\displaystyle \lim_{N \to \infty}p = p_0 = \tfrac{1}{6}\pi\sqrt{3}$$ Beim Grenzwert bleibt davon nur der erste Summand übrig; die anderen werden zu 0. Der Rand verschwindet, sag ich doch. Die genauen Werte von *p*₁, *p*₂, *p*₃, *a*₁, *a*₂, *a*₃ und *a*₄ muss man deshalb gar nicht ermitteln. 😷 LLAP -- *„Sag mir, wie Du Deine Maske trägst, und ich sage Dir, ob Du ein Idiot bist.“* —@Ann_Waeltin

@@ottogal > > Dass Du meine mühsame Argumentation zu den Rändern einfach mit "die Ränder fallen im Unendlichen eh weg" zusammenfasst, tja, so mutig war ich nicht. > > Finde ich auch etwas kühn... Ich finde es ausreichend einleuchtend. Aber wer’s nochmal vorgerechnet haben will: [](/images/5111ff1c-1b5b-11eb-aa71-b42e9947ef30.png) Die Skizze ist gemalt für *N* = 3. Die Ebene eingeteilt in Dreiecke; davon gibt es verschiedene Arten: weiß: : das Innere. Davon gibt es 1 + 3 + 5 + … + 2*N* − 1 = *N*². Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₀ = ⅙π √3 ≈ 90.69%. Die Dreiecke liegen vollständig innerhalb des großen Dreiecks, *a*₀ = 1. grün: : an den Kanten. Davon gibt es *3N* (von den Dreiecken, nicht von den Kanten). Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₁. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₁. blau: : Kante. Davon gibt es 3(*N* + 1). Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₂. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₂. rot: : Ecke. Davon gibt es 3. Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₃. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₃. baun: : Ecke. Davon gibt es 3. Keine Kreissektoren, *p*₄ = 0. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₄. Das gesuchte Verhältnis *p* ist nun das gewichtete Mittel $$p = \frac{N^2 a_0}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_0 + \frac{3Na_1}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_1 + \frac{3(N+1)a_2}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_2 + \frac{3a_3}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_3 + \frac{3a_4}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_4$$ $$\displaystyle \lim_{N \to \infty}p = p_0 = \tfrac{1}{6}\pi\sqrt{3}$$ Beim Grenzwert bleibt davon nur der erste Summand übrig; die anderen werden zu 0. Der Rand verschwindet, sag ich doch. Die genauen Werte von *p*₁, *p*₂, *p*₃, *a*₁, *a*₂, *a*₃ und *a*₄ muss man deshalb gar nicht ermitteln. 😷 LLAP -- *„Sag mir, wie Du Deine Maske trägst, und ich sage Dir, ob Du ein Idiot bist.“* —@Ann_Waeltin

@@ottogal > > Dass Du meine mühsame Argumentation zu den Rändern einfach mit "die Ränder fallen im Unendlichen eh weg" zusammenfasst, tja, so mutig war ich nicht. > > Finde ich auch etwas kühn... Ich finde es ausreichend einleuchtend. Aber wer’s nochmal vorgerechnet haben will: [](/images/5111ff1c-1b5b-11eb-aa71-b42e9947ef30.png) Die Skizze ist gemalt für *N* = 3. Die Ebene eingeteilt in Dreiecke; davon gibt es verschiedene Arten: weiß: : das Innere. Davon gibt es 1 + 3 + 5 + … + 2*N* − 1 = *N*². Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₀ = ⅙π √3 ≈ 90.69%. Die Dreiecke liegen vollständig innerhalb des großen Dreiecks, *a*₀ = 1. grün: : an den Kanten. Davon gibt es *3N* (von den Dreiecken, nicht von den Kanten). Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₁. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₁. blau: : Kante. Davon gibt es 3(*N* + 1). Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₂. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₂. rot: : Ecke. Davon gibt es 3. Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₃. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₃. baun: : Ecke. Davon gibt es 3. Keine Kreissektoren, *p*₄ = 0. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₄. Das gesuchte Verhältnis *p* ist nun das gewichtete Mittel $$p = \frac{N^2 a_0}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_0 + \frac{3Na_1}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_1 + \frac{3(N+1)a_2}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_2 + \frac{3a_3}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_3 + \frac{3a_4}{N^2 a_0+3Na_1+3(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_4$$ Beim Grenzwert bleibt davon nur der erste Summand übrig; die anderen werden zu 0. Der Rand verschwindet, sag ich doch. $$\displaystyle \lim_{N \to \infty}p = p_0 = \tfrac{1}{6}\pi\sqrt{3}$$ 😷 LLAP -- *„Sag mir, wie Du Deine Maske trägst, und ich sage Dir, ob Du ein Idiot bist.“* —@Ann_Waeltin

@@ottogal > > Dass Du meine mühsame Argumentation zu den Rändern einfach mit "die Ränder fallen im Unendlichen eh weg" zusammenfasst, tja, so mutig war ich nicht. > > Finde ich auch etwas kühn... Ich finde es ausreichend einleuchtend. Aber wer’s nochmal vorgerechnet haben will: [](/images/5111ff1c-1b5b-11eb-aa71-b42e9947ef30.png) Die Skizze ist gemalt für *N* = 3. Die Ebene eingeteilt in Dreiecke; davon gibt es verschiedene Arten: weiß: : das Innere. Davon gibt es 1 + 3 + 5 + … + 2*N* − 1 = *N*². Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₀ = ⅙π √3 ≈ 90.69%. Die Dreiecke liegen vollständig innerhalb des großen Dreiecks, *a*₀ = 1. grün: : Kante. Davon gibt es *N*. Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₁. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₁. blau: : Kante. Davon gibt es *N* + 1. Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₂. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₂. rot: : Ecke. Davon gibt es 3. Das Verhältnis der Anteil der durch die Kreissektoren bedeckten Fläche ist *p*₃. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₃. baun: : Ecke. Davon gibt es 3. Keine Kreissektoren, *p*₄ = 0. Der Anteil des Teilstücks des großen Dreiecks sei *a*₄. Das gesuchte Verhältnis *p* ist nun das gewichtete Mittel $$p = \frac{N^2 a_0}{N^2 a_0+Na_1+(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_0 + \frac{Na_1}{N^2 a_0+Na_1+(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_1 + \frac{(N+1)a_2}{N^2 a_0+Na_1+(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_2 + \frac{3a_3}{N^2 a_0+Na_1+(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_3 + \frac{3a_4}{N^2 a_0+Na_1+(N+1)a_2+3a_3+3a_4}p_4$$ Beim Grenzwert bleibt davon nur der erste Summand übrig; die anderen werden zu 0. Der Rand verschwindet, sag ich doch. $$\displaystyle \lim_{N \to \infty}p = p_0 = \tfrac{1}{6}\pi\sqrt{3}$$ 😷 LLAP -- *„Sag mir, wie Du Deine Maske trägst, und ich sage Dir, ob Du ein Idiot bist.“* —@Ann_Waeltin