mit GitLab kenne ich mich nicht aus. Grundsätzlich ist das aber ein CI/CD Tool und du solltest im Stande sein, nach einem Checkin automatisch ein Deployment des aktuellen Standes auf einen Webserver ausführen zu lassen. Das sollte über die Pipelines machbar sein.
Auch wenn Du dich damit nicht auskennst, hast Du da m.E. den Nagel auf den Kopf getroffen. Deployment von Projekt X auf Server Y. Dann auf Server Y gucken.