Mathematik zum Wochenanfang – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wir bleiben bei den Aufgaben ohne Skizze.

Gesucht sind alle zehnstelligen Zahlen n, die folgende Bedingen erfüllen (im Dezimalsystem):

• sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9
• für alle k von 1 bis 10 ist die aus den ersten k Ziffern von n gebildete Zahl durch k teilbar

Seien a₁, a₂, …, a₁₀ ∈ {0, 1, …, 9} die Ziffern von n, also n = a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀

10 Stellen, 10 Ziffern, d.h. jede der Ziffern 0 bis 9 kommt genau einmal vor.

n soll durch 10 teilbar sein, also a₁₀ = 0.

a₁a₂a₃a₄a₅ soll durch 5 teilbar sein, also a₅ = 5. (Die 0 war ja schon vergeben.)

Die Teilbarkeit von a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉ durch 9 ist immer gegeben, da die Quersumme unabhängig von der Reihenfolge der Ziffern immer 45 ist.

a₁a₂ soll durch 2 teilbar sein, ebenso a₁a₂a₃a₄ (weil durch 4), a₁a₂a₃a₄a₅a₆ (weil durch 6) und a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈ (weil durch 8). a₂, a₄, a₆, a₈ müssen also gerade sein; a₂, a₄, a₆, a₈ ∈ {2, 4, 6, 8}.

Somit verbleiben für die restlichen Ziffern die ungeraden; a₁, a₃, a₇, a₉ ∈ {1, 3, 7, 9}.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzte Stelle 0, 4 oder 8 und die vorletzte Stelle gerade ist oder wenn die letzte Stelle 2 oder 6 und die vorletzte Stelle ungerade ist. Da a₃ ungerade ist, muss a₄ ∈ {2, 6} sein, damit a₁a₂a₃a₄ durch 4 teilbar ist.

Dieselbe Überlegung führt zu a₈ ∈ {2, 6} und somit a₂, a₆ ∈ {4, 8}.

Fall 1: a₂ = 4, a₆ = 8

Damit a₁a₂a₃ durch 3 teilbar ist, muss a₁ + a₂ + a₃ = a₁ + 4 + a₃ durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit a₁, a₃ ∈ {1, 7}. Bleibt übrig: a₇, a₉ ∈ {3, 9}.

Damit a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈ durch 8 teilbar ist, muss a₆a₇a₈ durch 8 teilbar sein. Das geht nur mit 832 und 896; 836 und 892 sind nicht durch 8 teilbar.

Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1476583290, 7416583290, 1472589630 und 7412589630. Nun sind aber keine der Zahlen 1476583, 7416583, 1472589 und 7412589 durch 7 teilbar.

Fall 2: a₂ = 8, a₆ = 4

a₁ + a₂ + a₃ = a₁ + 8 + a₃ muss durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit a₁, a₃ ∈ {1, 3}. Bleibt übrig: a₇, a₉ ∈ {7, 9}.

a₆a₇a₈ durch 8 teilbar geht dann nur mit 472 und 496, nicht mit 476 und 492.

Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1836547290, 3816547290, 1832549670 und 3812549670. Von den aus den jeweils ersten 7 Ziffern gebildeten Zahlen ist nur 3816547 durch 7 teilbar.

Nur die Zahl 3816547290 erfüllt die Bedingungen.

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@Rolf B hatte das auch in etwa so, nur mit einem „Brute-Force Teil zwischendurch“. 😄

Die Aufgabe hatte ich von Holger Dambeck vom Spiegel.

Dort ist auch eine Lösung zu finden, die sich von meiner wohl nur darin unterscheidet, dass die Betrachtung der Teilbarkeiten durch 3 und 8 in ihrer Reihenfolge vertauscht sind.

🖖 Живіть довго і процвітайте