Mathematik zum Herrentag – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Das erste, was einem bei 99 einfällt, ist wohl 9 · 11. Die 11 ist aber zu groß.

Das zweite, was einem dann einfallen sollte, wäre (−9) · (−11). Das tut es aber nicht allen (incl. mir); @Tabellenkalk hat eine Erklärung geliefert, warum nicht.

Vielleicht war es ja gerade im Sinne der Aufgabe (Quelle), an die negativen Zahlen zu denken.

@Rolf B hat dann auch gleich die Zusatzaufgabe gestellt:

Finde zwei positive rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Von 9 · 11 ausgehend muss man die 11 kleiner machen (Faktor k mit 0 < k < 1) und – damit 99 rauskommt – die 9 entsprechend größer machen (Faktor 1/k).

k = ⁹⁄₁₀ geht nicht, weil dann a = 9 · ¹⁰⁄₉ = 10 und damit nicht mehr kleiner als 10 wäre. Damit haben wir ⁹⁄₁₀ als untere Schranke von k.

Die obere Schranke für k ergibt sich aus b < 10 zu ¹⁰⁄₁₁.

@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber hold my beer! Das sind sie alle: {(9/k, 11 · k) | ⁹⁄₁₀ < k < ¹⁰⁄₁₁, k ∈ ℚ}

Oder wie es @Friedel ausdrückte: „a ist eine beliebige rationale Zahl zwischen 9,9 und 10. b ist 99/a.“

@Der Martin und @encoder wählten beispielhaft k = ¹⁰⁰⁄₁₁₁; @Rolf B und ich wählten k = ⁹⁹⁹⁄₁₁₀₀:
$$\frac{999}{100}\cdot\frac{1100}{111}=99=\frac{1100}{111}\cdot\frac{999}{100}$$

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Aber auch eine andere Überlegung führt zum Ziel. Wie es @Rolf B ausdrückte: „Der einfachste Weg führt zum Zahnarzt: eine Wurzelbehandlung.“

Ohne die Einschränkung auf rationale Zahlen wären zwei Zahlen schnell gefunden: a = b = √99 ≈ 9,94987. Wir suchen nun zwei rationale Zahlen: die eine etwas kleiner als √99, die andere etwas größer.

a = 9,95 = ¹⁹⁹⁄₂₀ scheint ein guter Kandidat zu sein. b = 99/a = ¹⁹⁸⁰⁄₁₉₉ < ¹⁹⁹⁰⁄₁₉₉ = 10.

@Rolf B verwies auch noch darauf, dass auch das Heron-Verfahren zu dieser Lösung führt.

In dem Zusammenhang: Back to the roots – Wurzeln ziehen in CSS.

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