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Auf ein DIN-A4-Blatt sind von einer Ecke aus Transversalen gezeichnet (rot), die den rechten Winkel an der Ecke in 4 gleiche Teilwinkel zerlegen.
Man zeige, dass das gefärbte Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.
Der Lorbeer gebührt @Tabellenkalk!
Er hat, wie wir alle, natürlich gleich gesehen, dass die Dreiecke ADE und ABG wegen übereinstimmender Winkel ähnlich sind, und dass dabei
das Verhältnis entsprechender Seiten 1 : √2 ist.
Aber dann hat er eine schöne Schlussfolgerung gezogen: Das Dreieck AGE hat einen 45°-Winkel bei A, dessen anliegende Seiten AE und AG (als die Hypotenusen der oben genannten Dreiecke)
im Verhältnis 1 : √2 stehen. Ein solches Dreieck ist notwendiger Weise ein halbes Quadrat, also gleichschenklig-rechtwinklig!
Wir anderen Mittüftler (@Gunnar Bittersmann, @Rolf B und ich) haben uns stattdessen bemüht, das Dreieck ECG als kongruent zum Dreieck ADE zu erweisen. Der Weg dahin geht über die Bestimmung des Wertes von x = DE (grün).
O.B.d.A. setzt man natürlich AD = 1 und AB = √2. Mit $$\alpha = 22,5°$$ haben wir dann $$x = \tan \alpha$$.
Man kann diesen Wert in einer Formelsammlung als speziellen Wert der Tangensfunktion finden:
tan 22,5° = √2 - 1.
Oder man findet wenigstens die Formel für den doppelten Winkel:
$$\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$
Mit $$\tan 2\alpha=\tan 45° = 1$$ heißt das
$$1 = \dfrac{2x}{1 - x^2}$$
was auf die quadratische Gleichung $$x² + 2x - 1 = 0$$ führt;
deren positive Lösung ist $$\sqrt{2}-1$$.
Damit folgt $$DE = AD \cdot \tan \alpha = 1 \cdot x = \sqrt{2}-1$$ und dann $$EC = 1$$ für die lange Kathete von Dreieck ECG.
Aus der oben gen. Ähnlichkeit folgt für die kurze Kathete des Dreiecks ABG der Wert
BG = √2 x = 2 - √2 und damit CG = 1 - BG = - 1 + √2 = x.
Die Dreiecke ECG und ADE sind also tatsächlich kongruent. Ihre Hypotenusen sind gleich lang und schließen einen 90°-Winkel ein - das beweist die Behauptung über das Dreieck AGE.
@Rolf B wäre lieber ohne Trigonometrie ausgekommen, um x = DE zu bestimmen.
Das gelingt, indem man Symmetrien ausnutzt.
Das Lot von F auf AB erzeugt das Quadrat ALFD.
Spiegelt man die Strecke AD an der Achse AE, erhält man AH. Wegen ∡HAD = 45° liegt H auf der Quadratdiagonale AF.
Das Dreieck ABH ist wegen ∡BAH = 45° und dem Seitenverhältnis AH : AB = 1 : √2 ein halbes Quadrat. Folglich ist BH = AH = 1 und HF = AF - AH = √2 - 1.
Die Dreiecke FEH und ABH sind wegen übereinstimmender Winkel ähnlich; entsprechende Seiten stehen im Verhältnis 1 : √2. Also ist auch FEH ein halbes Quadrat.
Es folgt x = DE = HE = HF, also x = √2 - 1.
Fortsetzung wie beim "trigonometrischen" Vorgehen ...
Wie eingangs zugestanden: Es geht wirklich viel einfacher!
Vielen Dank fürs Mitdenken!
Allen schöne Ostertage!
ottogal
Rolf B
Tabellenkalk
Gunnar Bittersmann