Wahrscheinlichkeit berechnen

[Rolf B]

Hallo Henry,

ABER dennoch können wir beide richtig liegen. Was aber wenn ich dran bin zu würfeln, zählen dann die Würfe des Vorgängers gar nicht mehr und die Zählung beginnt wieder erneut, obwohl ja immer noch ohne bisherige Sechs?

Genau so ist es. Und der Grund ist: Es sind verschiedene Experimente.

Ich sitze im Zimmer und würfele. Mein Experiment: 25 Würfe mit einem W6.

Nach meinem 24. Wurf kommst Du ins Zimmer. Dein Experiment: übernehme meinen 25. Wurf und wette auf eine 6

Du schriebst: Der Würfel hat kein Gedächtnis. Völlig korrekt. Aber ich habe eins. Denn mein Experiment besteht aus 2 Komponenten: Der Würfel, und eine Strichliste mit Ergebnissen.

Du wettest vor dem 25. Wurf darauf, dass der Würfel beim 25. Wurf eine 6 zeigt.

Ich wette vor meinem ersten Wurf darauf, dass auf meiner Strichliste nach 25 Würfen mindestens ein Strich bei der 6 ist.

Wir wetten also nicht nur auf unterschiedliche Objekte, sondern auch zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Wenn Du wettest, ist mein Experiment schon zu 96% vorüber und der Ausgang bis dahin bekannt. Wenn ich bis dahin keine einzige 6 bekommen habe, ist meine Chance, im 25. Wurf doch noch eine zu bekommen, 1/6.

Was hier hilft, ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum. Den kann ich hier nur als eingerückte Liste darstellen.

A1. Rolf wirft in 24 Würfen KEINE 6 (also jedesmal 1-5): $$p_{a1}=\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}$$
A1-B1. Henry wirft im 25. Wurf eine 1-5: $$p_{b1}=\frac{5}{6}$$
A1-B2. Henry wirft im 25. Wurf eine 6: $$p_{b2}=\frac{1}{6}$$

A2. Rolf wirft in 24 Würfen mindestens eine 6: $$p_{a2}=1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}$$
A2-B1. Henry wirft im 25. Wurf eine 1-5: $$p_{b2}=\frac{5}{6}$$
A2-B1. Henry wirft im 25. Wurf eine 6: $$p_{b2}=\frac{1}{6}$$

Die Wahrscheinlichkeit für jeden Zweig ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Weg dorthin.

Die Wahrscheinlichkeit für Dein Experiment ist nun die Summe der B2-Zweige, also
$$p_{a1}\cdot p_{b2} + p_{a2}\cdot p_{b2} = \bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{1}{6} + (1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24})\cdot\frac{1}{6} = \bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{1}{6} + 1\cdot\frac{1}{6} - \bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$

Die Wahrscheinlichkeit für Mein Experiment (mind. einmal 6) ist das Gegenteil von Zweig A1-B1 (in 25 Würfen keine 6):
$$1-p_{a1}\cdot p_{b1} = 1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{5}{6} = 1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{25}$$.

Mathematik? Eine ganze Menge davon.

Rolf