@@Gunnar Bittersmann > > Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von *x* + *xy* + *y* = 54. > > Ich hatte die Aufgabe zunächst gelöst, ohne mir das Video anzuschauen. Dazu später mehr. Später ist jetzt. Wir betrachen die Gleichung modulo 4: *x* | *y* | *x* + *xy* + *y* --- | --- | -- 0|0|0 0|1|1 0|2|2 ☚ 0|3|3 1|0|1 1|1|3 1|2|1 1|3|3 2|0|2 ☚ 2|1|1 2|2|0 2|3|3 3|0|3 3|1|3 3|2|3 3|3|3 54 ≡ 2 mod 4; es sind also nur die Zeilen (*x*, *y*) ≡ (0, 2) und (*x*, *y*) ≡ (2, 0) relevant. Wir betrachten den ersten Fall; der andere ergibt sich aus Vertauschung von *x* und *y*. Mit *x* = 4*a*,        *a* ∈ ℕ⁺ *y* = 4*b* + 2,    *b* ∈ ℕ erhalten wir *x* + *xy* + *y* = 4*a* + 16*ab* + 8*a* + 4*b* + 2 = 54 12*a* + 16*ab* + 4*b* = 52    3*a* + 4*ab* + *b* = 13 Für *b* = 0 ergibt sich 3*a* = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt. Für *b* = 1 ergibt sich 7*a* + 1 = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt. Für *b* = 2 ergibt sich 11*a* + 2 = 13, also *a* = 1. Für *b* ≥ 3 ist der Koeffizient von *a* schon ≥15. Wegen *a* ≥ 1 kann die Summe nicht 13 werden. Daraus ergibt sich die Lösung (*x*, *y*) = (4 × 1, 4 × 2 + 2) = **(4, 10)** und durch Vertauschung von *x* und *y* die Lösung **(10, 4)**. --- Bei [Rolfs anderer Zusatzaufgabe](https://forum.selfhtml.org/self/2023/mar/07/mathematik-zum-dienstag/1806835#m1806835) *x* + 2*xy* + *y* = 49 hilft die Betrachtung modulo 4 nicht weiter, aber modulo 5: *x* | *y* | *x* + 2*xy* + *y* --- | --- | -- 0|0|0 0|1|1 0|2|2 0|3|3 0|4|4 ☚ 1|0|1 1|1|4 ☚ 1|2|2 1|3|0 1|4|3 2|0|2 2|1|2 2|2|2 2|3|2 2|4|2 3|0|3 3|1|0 3|2|2 3|3|4 ☚ 3|4|1 4|0|4 ☚ 4|1|3 4|2|2 4|3|1 4|4|0 49 ≡ 4 mod 5; es sind also nur die Zeilen (*x*, *y*) ≡ (0, 4), (*x*, *y*) ≡ (1, 1), (*x*, *y*) ≡ (3, 3) und (*x*, *y*) ≡ (4, 0) relevant. 1\. Mit *x* = 5*a*,        *a* ∈ ℕ⁺ *y* = 5*b* + 4,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 45*a* + 50*ab* + 5*b* + 4 = 49 9*a* + 10*b* + *b* = 9 Einzige Lösung *a* = 1, *b* = 0 ergibt (*x*, *y*) = **(5, 4)**. Vertauschung von *x* und *y* ergibt die Lösung **(4, 5)**. 2\. Mit *x* = 5*a* + 1,    *a* ∈ ℕ *y* = 5*b* + 1,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 15*a* + 50*ab* + 15*b* + 4 = 49 3*a* + 10*ab* + 3*b* = 9 *a* = 3, *b* = 0 ergibt (*x*, *y*) = **(16, 1)**. Vertauschung von *a* und *b* ergibt die Vertauschung von *x* und *y* **(1, 16)**. 3\. Mit *x* = 5*a* + 3,    *a* ∈ ℕ *y* = 5*b* + 3,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 35*a* + 50*ab* + 35*b* + 24 = 49 7*a* + 10*ab* + 7*b* = 5 was zu keinen ganzzahligen Lösungen führt. 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Im Vergleich mit Elon Musk bei Twitter ist ein Elefant im Porzellanladen eine Ballerina.“* — @Grantscheam auf Twitter

@@Gunnar Bittersmann > > Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von *x* + *xy* + *y* = 54. > > Ich hatte die Aufgabe zunächst gelöst, ohne mir das Video anzuschauen. Dazu später mehr. Später ist jetzt. Wir betrachen die Gleichung modulo 4: *x* | *y* | *x* + *xy* + *y* --- | --- | -- 0|0|0 0|1|1 0|2|2 ☚ 0|3|3 1|0|1 1|1|3 1|2|1 1|3|3 2|0|2 ☚ 2|1|1 2|2|0 2|3|3 3|0|3 3|1|3 3|2|3 3|3|3 54 ≡ 2 mod 4; es sind also nur die Zeilen (*x*, *y*) ≡ (0, 2) und (*x*, *y*) ≡ (2, 0) relevant. Wir betrachten den ersten Fall; der andere ergibt sich aus Vertauschung von *x* und *y*. Mit *x* = 4*a*,        *a* ∈ ℕ⁺ *y* = 4*b* + 2,    *b* ∈ ℕ erhalten wir *x* + *xy* + *y* = 4*a* + 16*ab* + 8*a* + 4*b* + 2 = 54 12*a* + 16*ab* + 4*b* = 52    3*a* + 4*ab* + *b* = 13 Für *b* = 0 ergibt sich 3*a* = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt. Für *b* = 1 ergibt sich 7*a* + 1 = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt. Für *b* = 2 ergibt sich 11*a* + 2 = 13, also *a* = 1. Für *b* ≥ 3 ist der Koeffizient von *a* schon ≥15. Wegen *a* ≥ 1 kann die Summe nicht 13 werden. Daraus ergibt sich die Lösung (*x*, *y*) = (4 × 1, 4 × 2 + 2) = **(4, 10)** und durch Vertauschung von *x* und *y* die Lösung **(10, 4)**. --- Bei [Rolfs anderer Zusatzaufgabe](https://forum.selfhtml.org/self/2023/mar/07/mathematik-zum-dienstag/1806835#m1806835) *x* + 2*xy* + *y* = 49 hilft die Betrachtung modulo 4 nicht weiter, aber modulo 5: *x* | *y* | *x* + 2*xy* + *y* --- | --- | -- 0|0|0 0|1|1 0|2|2 0|3|3 0|4|4 ☚ 1|0|1 1|1|4 ☚ 1|2|2 1|3|0 1|4|3 2|0|2 2|1|2 2|2|2 2|3|2 2|4|2 3|0|3 3|1|0 3|2|2 3|3|4 ☚ 3|4|1 4|0|4 ☚ 4|1|3 4|2|2 4|3|1 4|4|0 49 ≡ 4 mod 5; es sind also nur die Zeilen (*x*, *y*) ≡ (0, 4), (*x*, *y*) ≡ (1, 1), (*x*, *y*) ≡ (3, 3) und (*x*, *y*) ≡ (4, 0) relevant. 1\. Mit *x* = 5*a*,        *a* ∈ ℕ⁺ *y* = 5*b* + 4,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 45*a* + 50*ab* + 5*b* + 4 = 49 9*a* + 10*b* + *b* = 9 Einzige Lösung *a* = 1, *b* = 0 ergibt (*x*, *y*) = **(5, 4)**. Vertauschung von *x* und *y* ergibt die Lösung **(4, 5)**. 2\. Mit *x* = 5*a* + 1,    *a* ∈ ℕ *y* = 5*b* + 1,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 15*a* + 50*ab* + 15*b* + 4 = 49 3*a* + 10*ab* + 3*b* = 9 *a* = 3, *b* = 0 ergibt (*x*, *y*) = **(16, 1)**. Vertauschung von *a* und *b* ergibt die Vertauschung von *x* und *y* **(1, 16)**. 3\. Mit *x* = 5*a* + 3,    *a* ∈ ℕ *y* = 5*b* + 3,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 35*a* + 50*ab* + 35*b* + 24 = 49 7*a* + 10*ab* + 7*b* = 5 was zu keinen ganzzahligen Lösungen führt. 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Im Vergleich mit Elon Musk bei Twitter ist ein Elefant im Porzellanladen eine Ballerina.“* — @Grantscheam auf Twitter

@@Gunnar Bittersmann > > Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von *x* + *xy* + *y* = 54. > > Ich hatte die Aufgabe zunächst gelöst, ohne mir das Video anzuschauen. Dazu später mehr. Später ist jetzt. Wir betrachen die Gleichung modulo 4: *x* | *y* | *x* + *xy* + *y* --- | --- | -- 0|0|0 0|1|1 0|2|2 ☚ 0|3|3 1|0|1 1|1|3 1|2|1 1|3|3 2|0|2 ☚ 2|1|1 2|2|0 2|3|3 3|0|3 3|1|3 3|2|3 3|3|3 54 ≡ 2 mod 4; es sind also nur die Zeilen (*x*, *y*) ≡ (0, 2) und (*x*, *y*) ≡ (2, 0) relevant. Wir betrachten den ersten Fall; der andere ergibt sich aus Vertauschung von *x* und *y*. Mit *x* = 4*a*,        *a* ∈ ℕ⁺ *y* = 4*b* + 2,    *b* ∈ ℕ erhalten wir *x* + *xy* + *y* = 4*a* + 16*ab* + 8*a* + 4*b* + 2 = 54 12*a* + 16*ab* + 4*b* = 52    3*a* + 4*ab* + *b* = 13 Für *b* = 0 ergibt sich 3*a* = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt. Für *b* = 1 ergibt sich 7*a* + 1 = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt. Für *b* = 2 ergibt sich 11*a* + 2 = 13, also *a* = 1. Für *b* ≥ 3 ist der Koeffizient von *a* schon ≥15. Wegen *a* ≥ 1 kann die Summe nicht 13 werden. Daraus ergibt sich die Lösung (*x*, *y*) = (4 × 1, 4 × 2 + 2) = **(4, 10)** und durch Vertauschung von *x* und *y* die Lösung **(10, 4)**. --- Bei [Rolfs anderer Zusatzaufgabe](https://forum.selfhtml.org/self/2023/mar/07/mathematik-zum-dienstag/1806835#m1806835) *x* + 2*xy* + *y* = 49 hilft die Betrachtung modulo 4 nicht weiter, aber modulo 5: *x* | *y* | *x* + 2*xy* + *y* --- | --- | -- 0|0|0 0|1|1 0|2|2 0|3|3 0|4|4 ☚ 1|0|1 1|1|4 ☚ 1|2|2 1|3|0 1|4|3 2|0|2 2|1|2 2|2|2 2|3|2 2|4|2 3|0|3 3|1|0 3|2|2 3|3|4 ☚ 3|4|1 4|0|4 ☚ 4|1|3 4|2|2 4|3|1 4|4|0 49 ≡ 4 mod 5; es sind also nur die Zeilen (*x*, *y*) ≡ (0, 4), (*x*, *y*) ≡ (1, 1), (*x*, *y*) ≡ (3, 3) und (*x*, *y*) ≡ (4, 0) relevant. 1\. Mit *x* = 5*a*,        *a* ∈ ℕ⁺ *y* = 5*b* + 4,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 45*a* + 50*ab* + 5*b* + 4 = 49 *a* + 10*b* + *b* = 9 Einzige Lösung *a* = 1, *b* = 0 ergibt (*x*, *y*) = **(5, 4)**. Vertauschung von *x* und *y* ergibt die Lösung **(4, 5)**. 2\. Mit *x* = 5*a* + 1,    *a* ∈ ℕ *y* = 5*b* + 1,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 15*a* + 50*ab* + 15*b* + 4 = 49 3*a* + 10*b* + 3*b* = 9 *a* = 3, *b* = 0 ergibt (*x*, *y*) = **(16, 1)**. Vertauschung von *a* und *b* ergibt die Vertauschung von *x* und *y* **(1, 16)**. 3\. Mit *x* = 5*a* + 3,    *a* ∈ ℕ *y* = 5*b* + 3,    *b* ∈ ℕ erhalten wir 35*a* + 50*ab* + 35*b* + 24 = 49 7*a* + 10*b* + 7*b* = 5 was zu keinen ganzzahligen Lösungen führt. 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Im Vergleich mit Elon Musk bei Twitter ist ein Elefant im Porzellanladen eine Ballerina.“* — @Grantscheam auf Twitter