nicht angemeldet
Hallo in die Runde (und gute WÜnsche)!
Um Altlasten nicht zu weit ins neue Jahr zu schieben, löse ich mal auf.
Dabei bin ich bewusst etwas ausführlich.
Lösung
(1)
Die zwei Tangenten, die sich von einem Punkt außerhalb eines Kreises an diesen legen lassen, erzeugen gleich lange Tangentenabschnitte. (Das folgt schon aus der Symmetrie der Figur, die aus dem Kreis und den beiden Tangenten besteht.) Zusammen mit den dazugehörigen Kreisradien ergibt sich ein Drachenviereck. Dessen Flächeninhalt ist das Produkt aus dem Tangentenabschnitt und dem Radius.
(2)
Wir bezeichnen die Längen der Tangentenabschnitte von A aus mit p, die von B aus mit q; bei C bilden die Tangentenabschnitte den rechten Winkel und haben die Länge r des Inkreisradius.
Für die Seiten des Dreiecks ABC gilt dann
a = q + r
b = p + r
c = p + q
Für die Dreiecksfläche schreiben wir einfach ABC:
ABC = a b / 2, also ABC = (q + r)(p + r) / 2 und daher
$$\quad 2 ABC = p q + r (p + q + r)$$
(3)
Um weiter zu kommen, müssen wir ABC noch auf anderem Weg berechnen.
Wir zerlegen das Dreieck ABC in die 3 Drachenvierecke (links im Bild).
Ihre Flächen sind
p r (bei A)
q r (bei B)
r² (bei C).
Somit ergibt sich
$$\quad ABC = r (p + q + r)$$
Alternativ kann man das Dreieck ABC auch in drei Dreiecke zerlegen (rechts im Bild).
Sie haben alle die gleiche Höhe r und die Flächeninhalte
ABM = c r / 2
BCM = a r / 2
CAM = b r / 2
Es folgt ABC = r (a + b + c) /2, also ebenfalls
$$\quad ABC = r (p + q + r)$$
(4)
Setzt man das Ergebnis von (3) in die in (2) erhaltene Gleichung ein, folgt
2 ABC = p q + ABC und damit
$$\quad ABC = p q$$
Man kann alternativ den Pythagoras im Dreieck ABC verwenden:
(p + r)² + (q + r)² = (p + q)²
Ausmultiplizieren und Vereinfachen führt zur Gleichung
r (p + q + r) = p q, also wegen (3) ebenfalls
$$\quad ABC = p q$$
(5)
Sei h = |DE| die Seite des orangefarbenen Quadrats. Dann gilt nach dem Höhensatz im Dreieck BAE:
p q = h², also
$$\quad ABC = h²$$.
Das gelbe Dreieck und das Quadrat haben also den gleichen Flächeninhalt.
q.e.d.
Tabellenkalk
Rolf B