Hallo Rolf B,

es gibt mehr als eine Möglichkeit.

Bis demnächst
Matthias

@@Gunnar Bittersmann

Das entstehende Dreieck ist also rechtwinklig oder einer seiner Innenwinkel ist doppelt oder dreimal so groß wie ein anderer.

Das sind dann auch genau die Bedingungen, die ein Dreieck erfüllen muss, damit man es in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen kann.

Nein, das sind sie nicht. Passt denn hier niemand auf? Auch der @Matthias Apsel nicht? Hm, nein, der hatte es ja auch falsch.

Das sind notwendige Bedingungen, aber keine hinreichenden.

Schauen wir uns das nochmal an:

1. Rechtwinkliges Dreieck:

   

   Die Teilung in zwei gleichschenklige Dreiecke erfolgt, indem der rechte Winkel durch die Seitenhalbierende zur Hypotenuse in α und β geteilt wird. Das gelingt immer.

2. Dreieck mit einem Innenwinkel des Dreiecks doppelt so groß wie ein anderer, α = 2β:

   

   Die Teilung in zwei gleichschenklige Dreiecke erfolgt, indem der dritte Winkel (derjenige, der in der Zeichnung nicht mit α oder β beschriftet ist; dessen Größe beträgt π − 3β) in β und den Rest π − 4β geteilt wird.

   Damit das gelingt, muss 4β < π, also β < ¼π und α = 2β < ½π gelten.

   Dass ∠BAC ein spitzer Winkel sein muss, also α < ½π, sieht man auch aus der Zeichnung. Andernfalls gäbe es keinen solchen Punkt D, sodass AC = DC ist. (No pun intended.)

3. Dreieck mit einem Innenwinkel des Dreiecks dreimal so groß wie ein anderer:

   

   Die Teilung in zwei gleichschenklige Dreiecke erfolgt, indem der Winkel der Größe 3β (derjenige, der dreimal so groß ist wie ein anderer) in β und α = 2β geteilt wird. Wie beim rechtwinkligen Dreieck gelingt das immer.

Ein Dreieck lässt sich dann in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen, wenn es rechtwinklig ist oder wenn ein Innenwinkel, der spitz sein muss, doppelt so groß ist wie ein anderer oder wenn ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

LLAP 🖖

@@Gunnar Bittersmann

Sei R die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, D die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und T die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

Wie wir gesehen haben, ist R ∪ D ∪ T die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen.

Und wie wir später gesehen haben, ist das nicht der Fall.

Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass D die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher aber nicht stumpf sein darf. (Hier lassen wir mal Matthias’ Anmerkung einfließen.)

Dann ist R ∪ D ∪ T tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen.

Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (R ∩ D) ∖ T, (R ∩ T) ∖ D und (D ∩ T) ∖ R?

Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. diese Fußnote.

(R ∩ D) ∖ T

R ∩ D sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten:

1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß.

2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu T, also zu R ∩ D ∩ T, nicht zu (R ∩ D) ∖ T.

Zu (R ∩ D) ∖ T gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck.

(R ∩ T) ∖ D

R ∩ T sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten:

1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu D, also zu R ∩ D ∩ T, nicht zu (R ∩ T) ∖ D.

2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°.

Zu (R ∩ T) ∖ D gehört nur das letztgenannte Dreieck.

(D ∩ T) ∖ R

Bei D ∩ T sind 4 Fälle zu unterscheiden:

1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also ϕ, 2ϕ und 3ϕ.

   Mit ϕ + 2ϕ + 3ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅙π, 2ϕ = ⅓π, 3ϕ = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu R, also zu R ∩ D ∩ T, nicht zu (D ∩ T) ∖ R.

2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also ϕ, 2ϕ und 6ϕ.

   Mit ϕ + 2ϕ + 6ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅟₉π = 20°, 2ϕ = ²⁄₉π = 40°, 6ϕ = ⅔π = 120°.

   Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut.

3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also ϕ, 3ϕ und 6ϕ.

   Mit ϕ + 3ϕ + 6ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅟₁₀π = 18°, 3ϕ = ³⁄₁₀π = 54°, 6ϕ = ³⁄₅π = 108°.

   Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu D.

4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also 2ϕ, 3ϕ und 6ϕ.

   Nachtrag: Kudos to Matthias. Ohne ihn hätte ich diesen Fall glatt übersehen.

   Mit 2ϕ + 3ϕ + 6ϕ = π ergibt sich 2ϕ = ²⁄₁₁π, 3ϕ = ³⁄₁₁π, 6ϕ = ⁶⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.)

   Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ⁶⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu D.

Zu (D ∩ T) ∖ R gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.)

LLAP 🖖

Hallo Gunnar Bittersmann,

Gibt es Dreiecke, die sich auf verschiedene Weise in in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen?

Das können ja höchstens die aus den hell schraffierten Flächen sein, oder bin ich da zu voreilig?

Bis demnächst
Matthias