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Mathematik zum Wochenende
Matthias Apsel
Mathematik zum Wochenende
Matthias Apsel
MudGuard
Tabellenkalk
Gunnar BittersmannHallo alle,
eine etwas längere Wartezeit beim Italiener bei Apfelschorle und Radler führte zu folgender Aufgabe - mal wieder ohne dass ich eine Lösung habe.
Zwei Gefäße haben dasselbe Fassungsvermögen, sind zum Zeitpunkt t = 0 vollständig gefüllt und werden mit derselben Geschwindigkeit entleert. Das eine Gefäß hat die Form eines Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h, das andere die Form eines Kreiskegelstumpfes mit den „Begrenzungsradien“ r und r/2.
Man prüfe, ob es einen Zeitpunkt während des Entleerens gibt, zu dem die Flüssigkeit in beiden Gefäßen in derselben von null verschiedenen Höhe steht und gebe ggf. diese in Abhängigkeit von h an.
Bis demnächst
Matthias
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Rosen sind rot.
Rosen sind rot.
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Hi,
eine etwas längere Wartezeit beim Italiener bei Apfelschorle und Radler führte zu folgender Aufgabe - mal wieder ohne dass ich eine Lösung habe.
Zwei Gefäße haben dasselbe Fassungsvermögen, sind zum Zeitpunkt t = 0 vollständig gefüllt und werden mit derselben Geschwindigkeit entleert. Das eine Gefäß hat die Form eines Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h, das andere die Form eines Kreiskegelstumpfes mit den „Begrenzungsradien“ r und r/2.
welcher der Radien des Kreiskegelstumpfes ist oben, welcher unten?
cu,
Andreas a/k/a MudGuard-
Hallo MudGuard,
welcher der Radien des Kreiskegelstumpfes ist oben, welcher unten?
Es war ein Bierglas. Aber für die Aufgabe sind beide Fälle zu betrachten.
Bis demnächst
Matthias--
Rosen sind rot.
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Hallo,
Zwei Gefäße haben dasselbe Fassungsvermögen, sind zum Zeitpunkt t = 0 vollständig gefüllt und werden mit derselben Geschwindigkeit entleert. Das eine Gefäß hat die Form eines Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h, das andere die Form eines Kreiskegelstumpfes mit den „Begrenzungsradien“ r und r/2.
gilt r=r?
Gruß
Kalk-
@@Tabellenkalk
gilt r=r?
Ja. Für alle r.
Die Gleichheitsrelation ist reflexiv.
LLAP 🖖
PS: Was wolltest du eigentlich fragen?
--
“When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory-
Hallo,
PS: Was wolltest du eigentlich fragen?
Ich hab Mathias per PM meine Lösung geschickt und dann fiel mir auf, dass die nur unter dieser Voraussetzung gilt. Ich wollte also sichergehen, dass nicht eigentlich r1 und r2 gemeint war.
Gruß
Kalk
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@@Matthias Apsel
Zwei Gefäße haben dasselbe Fassungsvermögen, sind zum Zeitpunkt t = 0 vollständig gefüllt und werden mit derselben Geschwindigkeit entleert.
„Entleert“ heißt: ganz unten befindet sich ein Zapfhahn? Und die Fließgeschwindigkeit durch diesen sei konstant, hängt also nicht vom Füllstand ab?
Das eine Gefäß hat die Form eines Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h, das andere die Form eines Kreiskegelstumpfes mit den „Begrenzungsradien“ r und r/2.
Wollen wir’s nicht gleich verallgemeinern? Beide Gefäße sind Kegelstümpfe mit irgendwelchen Radien oben und unten? Wobei die Gefäße nach oben oder unten enger werden können. Wenn bei einem Gefäß beide Radien gleich sind, ist’s ein Zylinder; wenn ein Radius 0 ist, ist’s ein Kegel.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory-
Hallo Gunnar Bittersmann,
„Entleert“ heißt: ganz unten befindet sich ein Zapfhahn? Und die Fließgeschwindigkeit durch diesen sei konstant, hängt also nicht vom Füllstand ab?
Ja. Wenn dir das Bauchschmerzen bereitet kannst du auch gleichmäßig füllen.
Wollen wir’s nicht gleich verallgemeinern?
Gern.
Bis demnächst
Matthias--
Rosen sind rot.
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Hallo Matthias Apsel,
Man kann sich relativ leicht davon überzeugen, dass es im konkreten Fall eine solche Höhe nicht geben kann. Aber wie sieht es mit den Begrenzungsradien r/2 und 3r/2 aus?
Bis demnächst
Matthias--
Rosen sind rot.-
Hallo Matthias Apsel,
Man kann sich relativ leicht davon überzeugen, dass es im konkreten Fall eine solche Höhe nicht geben kann. Aber wie sieht es mit den Begrenzungsradien r/2 und 3r/2 aus?
Gerechnet für folgende Werte:
Zylinder: h = 10; r = 1; V = 10π
Stumpf: r = 1/2; R = 2; V = 10πAus $$V = \frac{π}{3} \left(R^2 + Rr + r^2 \right)$$ ergibt sich eine Höhe für den Stumpf von $$\frac{40}{7}$$.
Jetzt können wir den Kegelstumpf als Rotationskörper betrachten, der Begrenzungsgraph ist die Strecke durch die Punkte $$A\left(0;\frac{1}{2}\right)$$ und $$B\left(\frac{40}{7};2\right)$$, $$y=\frac{21}{80}x+\frac{1}{2}$$.
Das Volumen in Abhängigkeit von der Füllhöhe ergibt sich für den Zylinder zu V = πh und für den Stumpf zu
$$V(h)=π\int\limits_0^h \left(\frac{21}{80}h+\frac{1}{2}\right)^2,dh=π\frac{h\left(147h^2+840h+1600\right)}{6400}$$
Gleichsetzen ergibt neben der trivialen Lösung noch $$h_{2/3}=\frac{-20}{7}\left(1\pm\sqrt{5}\right)$$.
Da gilt $$0< \frac{-20}{7}\left(1-\sqrt{5}\right) < \frac{40}{7}$$, haben diese beiden Gläser bei einer Füllhöhe von ca. 3,53cm denselben Inhalt.
Bis demnächst
Matthias--
Rosen sind rot.-
Hallo Matthias Apsel,
Aber wie sieht es mit den Begrenzungsradien r/2 und 3r/2 aus?
Gerechnet für folgende Werte:
Zylinder: h = 10; r = 1; V = 10π
Auch dafür gibt es eine Lösung: h = 8,56.
Bis demnächst
Matthias--
Rosen sind rot.
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Hallo Matthias Apsel,
Zwei Gefäße haben dasselbe Fassungsvermögen, sind zum Zeitpunkt t = 0 vollständig gefüllt und werden mit derselben Geschwindigkeit entleert. Das eine Gefäß hat die Form eines Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h, das andere die Form eines Kreiskegelstumpfes mit den „Begrenzungsradien“ r und r/2.
Der Kreiskegelstumpf hat also niemals eine größere Querschnittsfläche als der Zylinder.
Man prüfe, ob es einen Zeitpunkt während des Entleerens gibt, zu dem die Flüssigkeit in beiden Gefäßen in derselben von null verschiedenen Höhe steht und gebe ggf. diese in Abhängigkeit von h an.
Deshalb steht die Flüssigkeit im zylindrischen Gefäß immer niedriger.
Bis demnächst
Matthias--
Rosen sind rot.