Teilbarkeit durch 6

[Christian Kruse]

Hallo alle,

tja, ich sitze hier vor ein paar Aufgaben und komme bei einer absolut
nicht auf die Loesung. Warum ist folgende Formel durch 6 teilbar? Ich
braeuchte den mathematischen Beweis, es ist das Produkt eines
Induktionsschritts:

n(n^2+3n+2)

Anhand einer Wertetabelle habe ich herausgefunden, dass das durchaus der
Fall zu sein scheint. Aber mir faellt leider kein Weg ein, das zu
beweisen.

Gruesse,
 CK

[Tom1tk]

Hi,

wie meinst Du durch 6 teilbar? Alles ist durch 6 teilbar, die Frage ist nur was dabei rauskommt.

Schreib ne Kleinigkeit mehr, dann hab ich vielleicht auch ne Idee parat.

Greets

[Christian Kruse]

Hallo Tom,

wie meinst Du durch 6 teilbar? Alles ist durch 6 teilbar, die Frage ist nur was
dabei rauskommt.

Ach ja, n ist in N_0 (also Natuerliche Zahlen groesser gleich 0). Sorry, das hatte
ich vergessen zu erwaehnen (deshalb wohl auch die Frage). Bei der Teilung durch
6 darf kein Rest uebrig bleiben, die zu teilende Zahl muss also ein Vielfaches
von 6 sein.

Gruesse,
 CK

[Sven Rautenberg]

Moin!

n(n^2+3n+2)

http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Folgen/40301 Vollstaendige Induktion STL.pdf, Seite 6

- Sven Rautenberg

[TorstenA]

Hallo Sven,

http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Folgen/40301 Vollstaendige Induktion STL.pdf, Seite 6

Da warst du wohl ein wenig fixer als ich ;-)
Aber allemal gut, den Inhalt des Matheunterrichts in der 12. Klasse zu reaktivieren.

Grüße
Torsten

[Sven Rautenberg]

Moin!

Hallo Sven,

http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Folgen/40301 Vollstaendige Induktion STL.pdf, Seite 6

Da warst du wohl ein wenig fixer als ich ;-)

Google machts möglich. :)

War übrigens einziges Suchergebnis:
http://www.google.com/search?q="n^3%2B3n^2%2B2n"+teilbarkeit+6&sourceid=opera&num=50&ie=utf-8&oe=utf-8

Aber allemal gut, den Inhalt des Matheunterrichts in der 12. Klasse zu reaktivieren.

Ähm, das ist lange her. :) Und unnötig, wenn man so gute Freunde wie Google hat. ;)

- Sven Rautenberg

[TorstenA]

Hallo Sven,

Aber allemal gut, den Inhalt des Matheunterrichts in der 12. Klasse zu reaktivieren.
Ähm, das ist lange her. :)

Ja, fast 14 Jahre :-)

Und unnötig, wenn man so gute Freunde wie Google hat. ;)

Och, ich erinnere mich ganz gerne mal an das, was ich gelernt, aber nie gebraucht habe, und wenn's die vollständige Induktion ist, und wundere mich, wieviel nach so langer Zeit doch noch irgendwo im Hinterstübchen vorhanden ist ;-)

Grüße
Torsten

[Christian Kruse]

Hallo Sven,

http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Folgen/40301 Vollstaendige Induktion STL.pdf, Seite 6

Danke. Das hat mir echt geholfen :) Ich konnte die Aufgabe jetzt loesen.

Gruesse,
 CK

[TorstenA]

Hallo CK,

tja, ich sitze hier vor ein paar Aufgaben und komme bei einer absolut
nicht auf die Loesung. Warum ist folgende Formel durch 6 teilbar? Ich
braeuchte den mathematischen Beweis, es ist das Produkt eines
Induktionsschritts:

Hm, wie lautet denn die vollständige Behauptung?

Grüße
Torsten

[Daniel]

Hallo Christian,

...braeuchte den mathematischen Beweis, es ist das Produkt eines
Induktionsschritts:

n(n^2+3n+2)

Ich bin zwar in diesem Gebiet auch nicht mehr so bewandert, würde aber folgendes Beispiel sagen:

zu beweisen gilt: 6 | n^3+3n^2+2n

Durch Einsetzen der ersten paar Zahlen erhältst Du:
(n=1): (1^3+3*1^2+2*1) = 6|6 = wahr
(n=2): (2^3+3*2^2+2*2) = 6|24 = wahr
(n=3): (3^3+3*3^2+2*3) = 6|60 = wahr

Nun machst du eine Induktionsannahme und sagst generell dass

6 | n^3+3n^2+2n = wahr  (Da du ja nicht alle beweisen kannst)

Danach stellst Du die Induktionsbehauptung auf, in der Du sagst, dass

S(n+1): 6 | ((n+1)^3+3*(n+1)^2+2*(n+1)) = wahr

-> n^3+6n^2+11n+6 (obiger Term ausgerechnet)

Da du ja schon angenommen hast, dass (6 | n^3+3n^2+2n = wahr) kannst du dies auf diesen Term anwenden und sagen:

(n^3+3n^2+2n) + (3n^2+9n+6) (-> Hier schreibst du den Term so an, dass du die angenommene Induktion einbaust und um soviel erweiterst, dass du wieder genau auf den berechneten Term (n^3+6n^2+11n+6) kommst.)
Da du ja jetzt schon weisst, dass der erste Teil dieses Gesamttermes 6 teilt, musst du nur noch für den 2. Teil des Termes(3n^2+9n+6) beweisen, dass auch er teilbar durch 6 ist. Das kannst du auch wiederum mit Induktion lösen.(Anfang,Annahme,Behauptung).

Dies wäre meine Lösung, aber wie gesagt, ich habe das schon länger nicht mehr gemacht, also kann ich evtl. Fehler nicht ausschliessen :)

Grüsse,
Daniel

[crack]

hallo,

für n=0,1 ist an durch 6 teilbar.

an+1 = (n+1)*(((n+1)^2)+3(n+1)+2)
     = (n+1)*((n^2)+2n+1+3n+3+2)
     = (n+1)*((n^2)+5n+6)
     = n*((n^2)+3n+2+2n+4) + (n^2)+5n+6
     = n*((n^2)+3n+2) + 2(n^2)+4n+(n^2)+5n+6
     = an + 3(n^2)+9n+6
     = an + 3*((n^2)+3n+2)

Da an durch 6 teilbar ist und (n^2)+3n+2 immer durch zwei teilar ist, weil es geradzahlige Werte liefert (entweder ist n gerade dann sind alle Summanden gerade oder n ist ungerade, dann ist sowohl (n^2) als auch 3n ungerade und in der Summe wieder gerade), ist auch an+1 durch 6 teilbar.

gruß crack

[Gunnar Bittersmann]

Hallo alle,
Warum schießt Ihr mit Kanonen auf Spatzen? Es geht auch ganz ohne Induktion:

n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2)

Von den Zahlen n, n+1, n+2 ist mindestens eine durch 2 teilbar und genau eine durch 3 teilbar. Damit ist das Produkt durch 6 teilbar.
Gunnar

[Harry]

Holladiewaldfee,

n(n^2+3n+2)

Toll, einmal bin ich nicht da und schon tauchen die schönsten Mathe-Sachen im Forum auf ;)

Ciao,

Harry