Off-Topic: Mathematik - Parabeln

[Mathemeister]

Hi.

Ich weiß, das ist eine Off-Topic, aber ich finde einfach keine Lösung, und vor allem nicht so schnell wie in diesem Forum.
Ja, im Archiv habe ich schon geschaut. Jemand hatte da auch schon eine Frage zum Thema "Parabeln", die hat jedoch wenig mit meiner Frage zu tun.

Es geht um folgendes: Ich liebe Mathematik. Doch jetzt bin ich auf ein Problem gestoßen. Z.Z nehmen wir in der Schule Parabeln & quadratische Funktionen durch.
Meine Frage ist denkbar einfach:
Wie gehe ich vor, wenn ich zwei Punkte habe, die beide auf einer Parabel liegen und deren (der Parabel) Gleichung wissen möchte?

Ich hoffe, ihr entschuldigt diese Off-Topic.

euer Mathemeister (oder auch nicht...)

[Dennis]

Hi Mathemeister,

Wie gehe ich vor, wenn ich zwei Punkte habe, die beide auf einer Parabel liegen und deren (der Parabel) Gleichung wissen möchte?

Schon mal was von Scheitelpunktsform gehört?

Dazu musst du den Scheitelpunkt der Parabel auslesen, dann hast du z.B. S(1/2).

Wenn es sich um eine Normalparabel handelt (also nicht gestreckt bzw. gestaucht), hast du jetzt die Formel schon:

f(x) = (x-1)² + 2

Wenn nicht.... das hab ich jetzt vergessen ;-)
Aber ich hatte vor kurzer Zeit selbes Thema im Mathe *g*

MfG, Dennis.

[Dennis]

Hi Mathemeister,

Uups, da habe ich mich wohl etwas verlesen - ich dachte, es wäre der ganze Graph in einem Koordinatensystem gegeben...

MfG, Dennis.

[Klawischnigg]

Hi there,

Wie gehe ich vor, wenn ich zwei Punkte habe, die beide auf einer Parabel liegen und deren (der Parabel) Gleichung wissen möchte?

Hm? Zwei Punkte bestimmen eine Parabel aber nicht hinreichend, da gibts eine ganze Menge Gleichungen, auch Nicht-Parabeln ;)

euer Mathemeister (oder auch nicht...)

wird schon werden...

[Hopsel]

Hi,

Hi.

Ich weiß, das ist eine Off-Topic, aber ich finde einfach keine Lösung, und vor allem nicht so schnell wie in diesem Forum.
Ja, im Archiv habe ich schon geschaut. Jemand hatte da auch schon eine Frage zum Thema "Parabeln", die hat jedoch wenig mit meiner Frage zu tun.

Es geht um folgendes: Ich liebe Mathematik. Doch jetzt bin ich auf ein Problem gestoßen. Z.Z nehmen wir in der Schule Parabeln & quadratische Funktionen durch.
Meine Frage ist denkbar einfach:
Wie gehe ich vor, wenn ich zwei Punkte habe, die beide auf einer Parabel liegen und deren (der Parabel) Gleichung wissen möchte?

gar nicht. Es gibt unendlich viele Graphen, die durch diese zwei Punkte gehen.

Wenn du von der Gleichung f(x) = ax² + bx + c ausgehst, kannst du allerdings zwei Punkte errechnen, die für einen dieser Graphen zutreffen.

Bsp.:
a = 1

P1( 2 ; 3 )
P2( 4 ; 8 )

3 = 2² + 2b + c
8 = 4² + 4b + c
---------------
5 = 12 + 2b
b = -7/2
c = 6

Die Funktion heißt also:
f(x) = x² - 7/2x + 6

Ich hoffe, es hat sich kein Rechenfehler eingeschlichen.
Die Zahlen sind willkürlich gewählt. Wenn du Lust hast, kannst du gerne nochmal nachrechnen.

MfG Hopsel

[Christian Seiler]

Hallo,

Meine Frage ist denkbar einfach:
Wie gehe ich vor, wenn ich zwei Punkte habe, die beide auf einer Parabel liegen und deren (der Parabel) Gleichung wissen möchte?

Tja, dann hast Du ein Problem. Durch zwei Punkte gehen unendliche viele Parabeln. Du brauchst schon drei Punkte, um eine Parabel exakt zu bestimmen. Wenn Du jedoch drei Punkte hast, dann ist das Bestimmen recht einfach:

Gegeben seien 3 Punkte: [latex]P_1, P_2, P_3[/latex] Als Beispiel nehme ich folgende Werte: [latex]P_1(1/2), P_2(-1/2), P_3(0/-3)[/latex]

Die allgemeine Gleichung einer Parabel lautet: [latex]y = ax^2 + bx + c[/latex] und damit [latex]ax^2 + bx + c = y[/latex]

Damit entstehen 3 Gleichungen:

[latex]2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c[/latex]
[latex]2 = a + b + c[/latex] (Gl. 1)
[latex]2 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c[/latex]
[latex]2 = a - b + c[/latex] (Gl. 2)
[latex]-3 = a\cdot (0)^2 + b\cdot (0) + c[/latex] (Gl. 3)
[latex]-3 = c[/latex] (Gl. 3)

Du erhälst ein lineares Gleichungssystem.

Wenn Du die Gleichungen 1 mit 2 addierst, erhälst Du

[latex]4 = a + a + c + c[/latex]
[latex]4 = 2a + 2c[/latex] (Gl. 4)

c kennst Du schon, das folgt aus Gleichung 3:

[latex]c = -3[/latex] (Gl. 5)

Somit kannst Du Gleichung 4 auch schreiben als:

[latex]4 = 2a - 6[/latex]

Somit:

[latex]10 = 2a[/latex]
[latex]a = 5[/latex]

Aus Gleichung 1 folgt nun:

[latex]2 = 5 + b - 3[/latex]
[latex]2 = 2 + b[/latex]
[latex]b = 0[/latex]

Somit hast Du:

[latex]a = 5[/latex]
[latex]b = 0[/latex]
[latex]c = -3[/latex]

Deine quadratische Gleichung ist also:

[latex]y = 5x^2 - 3[/latex]

Andere Punkte ergeben natürlich andere Parabeln (und u.U. kompliziertere Gleichungssysteme).

Viele Grüße,
Christian

[mathemeister]

Meine Frage ist denkbar einfach:
Wie gehe ich vor, wenn ich zwei Punkte habe, die beide auf einer Parabel liegen und deren (der Parabel) Gleichung wissen möchte?

Da viele gesagt haben, dass zwei Punkte nicht langen, um eine Parabelgleichung herauszufinden, muss ich hier ein bisschen mehr erklären:

In der Aufgabe steht, dass die Parabel nach oben geöffnet ist (also y=-x² ... scheidet schon einmal aus), und dass sie verschoben ist (demnach y=(x-p)²+q). Und damit kann ich jetzt schon mehr machen.
Aber warum wird in den Lösungen trotzdem in die Form y=x² + px + q  eingesetzt? Wenn da steht, dass die Parabel verschoben ist, dann kann man doch gar nicht davon ausgehen, dass sie nur auf der y-Achse verschoben ist, oder? Es muss doch auch auf der x-Achse verschoben sein, was man doch mit y=x² + px + q nicht darstellen kann...

[Cheatah]

Hi,

In der Aufgabe steht, dass die Parabel nach oben geöffnet ist (also y=-x² ... scheidet schon einmal aus), und dass sie verschoben ist (demnach y=(x-p)²+q). Und damit kann ich jetzt schon mehr machen.

nein, es gibt immer noch genauso viele Möglichkeiten wie vorher, also unendlich viele. Nämlich genauso viele, wie es reelle Zahlen größer null gibt.

Aber warum wird in den Lösungen trotzdem in die Form y=x² + px + q  eingesetzt?

Weil das genau der von Dir genannten Formel entspricht. p und q sind unterschiedlich, davon abgesehen sind die Formeln identisch.

Wenn da steht, dass die Parabel verschoben ist, dann kann man doch gar nicht davon ausgehen, dass sie nur auf der y-Achse verschoben ist, oder?

Gefällt Dir "y-q = x²+px" besser?

Es muss doch auch auf der x-Achse verschoben sein, was man doch mit y=x² + px + q nicht darstellen kann...

Nebenaufgabe: Ermittle aus "y = x²+px+q" die für "y = (x-a)² + b" benötigten Werte a und b.

Cheatah

[Johannes Zeller]

Hallo Mathemeister,

Da viele gesagt haben, dass zwei Punkte nicht langen, um eine Parabelgleichung herauszufinden, muss ich hier ein bisschen mehr erklären:

In der Aufgabe steht, dass die Parabel nach oben geöffnet ist (also y=-x² ... scheidet schon einmal aus), und dass sie verschoben ist (demnach y=(x-p)²+q). Und damit kann ich jetzt schon mehr machen.
Aber warum wird in den Lösungen trotzdem in die Form y=x² + px + q  eingesetzt? Wenn da steht, dass die Parabel verschoben ist, dann kann man doch gar nicht davon ausgehen, dass sie nur auf der y-Achse verschoben ist, oder? Es muss doch auch auf der x-Achse verschoben sein, was man doch mit y=x² + px + q nicht darstellen kann...

Selbst mit diesen Information kann man nicht anhand von zwei Punkten die
Gleichung einer Parabel herausfinden. Vielleicht gibst du einfach mal die
konkrete Aufgabenstellung an?

Schöne Grüße,

Johannes

[Mathemeister]

Hallo Mathemeister,

Hey Johannes

Selbst mit diesen Information kann man nicht anhand von zwei Punkten die
Gleichung einer Parabel herausfinden. Vielleicht gibst du einfach mal die
konkrete Aufgabenstellung an?

Also gut:
"
Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel wird von der Geraden g in den Punkten P1(1|3) und P2(6|8) geschnitten.

Eine zur Geraden g parallele Gerade h geht durch den Punkt B(3,5|-0,75).

Weisen sie rechnerisch nach, dass B der einzige gemeinsame Punkt der Parabel und der Geraden h ist.
"
(Quelle: "Realschule 2005, Abschluss-Prüfungsaufgaben mit Lösungen", Mathematik Baden-Württemberg, S. 2001-4, Aufgabe 3, Erschienen im Stark-Verlag, 19. ergänzte Auflage, Copyright 1987)
Ich weiß, es ist komisch, dass das hier steht, aber ich habe wegen fehlender Quellenangaben schon einmal Post von einem Anwalt bekommen, weil ich als ich aus einem Buch zitiert habe ohne die Quelle zu nennen. Das soll mir nicht noch einmal passieren...

[Frank Schönmann]

hi!

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel wird von der Geraden
g in den Punkten P1(1|3) und P2(6|8) geschnitten.

"Normalparabel" ist das Zauberwort, das die noch relevante Information
enthält. Dann kannst du davon ausgehen, dass die Parabel folgende Form
hat: y = (x + a)^2 + b. Wenn du dort für (x,y) die Werte der Punkte P1 und
P2 einsetzt, erhälst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei
Gleichungen, das also eindeutig lösbar ist.

bye, Frank!

[Biesterfeld]

Hej,

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel wird von der Geraden g in den Punkten P1(1|3) und P2(6|8) geschnitten.

Von einer Normalparabel war nie die Rede, diese zeichnet sich in der Tat dadurch aus, dass a = 1 für ax^2 + bx + c = f(x) ist.

Dann kannst du selbstverständlich mit 2 Punkten die Parabel eineindeutig bestimmen. Ansonsten Schema F: Wertepaare in die Funktionsgleichung einsetzen

f(x1) = y1 bzw. f(x2) = y2
drauf hoffen, dass du genau soviele Wertepaare wie Koeffizienten hast und schon hast du ein linieares Gleichungssystem das du lösen kannst.

Eine zur Geraden g parallele Gerade h geht durch den Punkt B(3,5|-0,75).

Das ist dann wiederrum leicht.

Im übrigen noch ein kleiner Tip: Der das ganze noch einfacher macht:

Wenn du die Nullstellen einer Parabel f(x) bestimmst, setzt du diese gleich null, also f(x) = 0. Die Nullstellen sind die schnittpunkte der Parabel mit der y-Achse die die Funktion q(x) = 0 hat.

So wenn du nun die Schnittpunkte mit einer Geraden g(x) haben möchtest machst du nichts anderes: Du setzt f(x) = g(x) oder noch besser f(x) - g(x) = 0.

Also musst du nur noch die g(x) bestimmen, f(x)-g(x) bestimmen und donnerst mit dem Satz von Vieta drauf oder verwendest die p-q-Formel.

Dies wäre im übrigen auch die Lösung für Dein letztes Problem. So und damit kommst du der Lösung insgeamt noch viel einfacher nahe: Wenn du weißt h(x) hat genau einen Punkt mit g(x), dann muss das genau die Nullstelle von f(x)-h(x) sein. und über eine Nullstelle ist eine Parabel mit a = 1 immer eindeutig definiert.

Beste Grüße
Biesterfeld

[Gerhard]

Gibts da nicht auch Irgendwas mit logarithmischen Skalen?
Dass man in einem logarithmischen Papier eine Gerade herauskriegt und die Formel y=kx+d verwenden kann?
Aber ich glaub dass geht dann nur bei Exponentialfunktionen
und Parabeln sind ja bekanntlich Potenzfunktionen

[Biesterfeld]

Hej,

logarithmische Skalen sind bei der Koeffizientenbestimmung exponentieller Gesetze dein Freund, doppeltlogarithmische bei der Koeffizientenbestimmung von Potenzgesetzen.

Dass sich damit Polynomkoeffizienten bestimmen lassen wäre mir gänzlich neu.

Beste Grüße
Biesterfeld