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Hallo,
Meine Frage ist denkbar einfach:
Wie gehe ich vor, wenn ich zwei Punkte habe, die beide auf einer Parabel liegen und deren (der Parabel) Gleichung wissen möchte?
Tja, dann hast Du ein Problem. Durch zwei Punkte gehen unendliche viele Parabeln. Du brauchst schon drei Punkte, um eine Parabel exakt zu bestimmen. Wenn Du jedoch drei Punkte hast, dann ist das Bestimmen recht einfach:
Gegeben seien 3 Punkte: [latex]P_1, P_2, P_3[/latex] Als Beispiel nehme ich folgende Werte: [latex]P_1(1/2), P_2(-1/2), P_3(0/-3)[/latex]
Die allgemeine Gleichung einer Parabel lautet: [latex]y = ax^2 + bx + c[/latex] und damit [latex]ax^2 + bx + c = y[/latex]
Damit entstehen 3 Gleichungen:
[latex]2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c[/latex]
[latex]2 = a + b + c[/latex] (Gl. 1)
[latex]2 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c[/latex]
[latex]2 = a - b + c[/latex] (Gl. 2)
[latex]-3 = a\cdot (0)^2 + b\cdot (0) + c[/latex] (Gl. 3)
[latex]-3 = c[/latex] (Gl. 3)
Du erhälst ein lineares Gleichungssystem.
Wenn Du die Gleichungen 1 mit 2 addierst, erhälst Du
[latex]4 = a + a + c + c[/latex]
[latex]4 = 2a + 2c[/latex] (Gl. 4)
c kennst Du schon, das folgt aus Gleichung 3:
[latex]c = -3[/latex] (Gl. 5)
Somit kannst Du Gleichung 4 auch schreiben als:
[latex]4 = 2a - 6[/latex]
Somit:
[latex]10 = 2a[/latex]
[latex]a = 5[/latex]
Aus Gleichung 1 folgt nun:
[latex]2 = 5 + b - 3[/latex]
[latex]2 = 2 + b[/latex]
[latex]b = 0[/latex]
Somit hast Du:
[latex]a = 5[/latex]
[latex]b = 0[/latex]
[latex]c = -3[/latex]
Deine quadratische Gleichung ist also:
[latex]y = 5x^2 - 3[/latex]
Andere Punkte ergeben natürlich andere Parabeln (und u.U. kompliziertere Gleichungssysteme).
Viele Grüße,
Christian