mal ein bisschen rechnen

[romy]

Hi liebe Forumsteilnehmer,

ich oute mich nur ungern, aber ich versuche gerade einem angehenden Abiturienten zu helfen und stecke fest. Entweder ist es zu lange her oder ich stehe im Wald.

Die Aufgabe lautet wie folgt.

Gegeben sei eine Funktionsschar ft(x)=tx³+(t²+1)x²+x
Diese haben eine Wendestelle. Bestimmen sie für welches t diese Wendestelle am nächsten zu Null liegt. (Ich interpretiere bei zu Null den Koordinatenursprung) t ist Element R und > 0

So weit so gut.
1. Ableitung:
f'(x)=3tx²+2(t²+1)x+1

2. Ableitung:
f''(x)=6tx+2(t²+1)

Um die Wendestelle zu bestimmen setze ich die 2. Ableitung=0:

0=6tx+2(t²+1) -> x=(-t²-1)/3t

Ähmm und nun setzt es aus. Ich würde ja denken, jetzt soll ich einen Grenzwert bestimmen, aber welchen?
Mein Ansatz wäre (ohne dass ich ih n logisch fände, denn ich will ja x gegen Null haben)

lim t->0 (-t²-1)/3t = -1/3 ergo ist das besagte Wendestelle.

Naja, dass ist kein befriedigendes Ergebnis und außerdem fällt mir nicht ein, wie ich meine Angaben prüfen könnte oder zumindest mal den Punkt eingrenzen. (Ja, ich habe es grafisch angezeigt und der Punkt liegt wohl zwischen 0 und 1)
Mhm, mein zweiter Ansatz, wäre die Extrema von der Wendestelle zu bestimmen, aber ob die mir helfen.

Irgendwie sehe ich etwas nicht, kann mich bitte jemand erhellen, auf dass ich mir an den Kopf greifen  möge.

ciao
romy *sehrpeinlichberührtsei-grummel*

[Gunnar Bittersmann]

Hi romy,

Um die Wendestelle zu bestimmen setze ich die 2. Ableitung=0:
0=6tx+2(t²+1) -> x=(-t²-1)/3t

Sieht gut aus.

Ähmm und nun setzt es aus. Ich würde ja denken, jetzt soll ich einen Grenzwert bestimmen, aber welchen?

Nö, du suchst das Minimum von |x| als Funktion von t, also |x(t)| nach t ableiten.

Live long and prosper,
Gunnar

[romy]

Hi Gunnar,

Ähmm und nun setzt es aus. Ich würde ja denken, jetzt soll ich einen Grenzwert bestimmen, aber welchen?
Nö, du suchst das Minimum von |x| als Funktion von t, also |x(t)| nach t ableiten.

Kannst dir mir erklären warum, auf die Extrema war ich auch gekommen, aber nur diurch die grafische Darstellung. Mir will der Grund nicht einleuchten. Ich danke Dir!

ciao
romy

[Gunnar Bittersmann]

Kannst dir mir erklären warum, auf die Extrema war ich auch gekommen, aber nur diurch die grafische Darstellung. Mir will der Grund nicht einleuchten. Ich danke Dir!

romy,
Du hast die Wendestelle von [latex]f_t(x)[/latex] zu [latex]x_w=- \frac{t^2+1}{3t}[/latex] bestimmt. Du kannst also die Lage der Wendestelle von [latex]f_t(x)[/latex] als Funftion von t auffassen: [latex]x_w(t)=- \frac{t^2+1}{3t}[/latex]

Bestimmen sie für welches t diese Wendestelle am nächsten zu Null liegt. (Ich interpretiere bei zu Null den Koordinatenursprung)

Nicht ganz. Wende_stelle_ heißt die x-Koordinate des Wendepunktes; diese soll so nah wie möglich bei x = 0 liegen – nicht bei (x|y) = (0|0) –, also [latex]|x_w(t) - 0| = min[/latex]

Du suchst also dasjenige t, für das gilt: [latex]|x_w(t) - 0| = \left|- \frac{t^2+1}{3t}\right|=min[/latex]

Fallunterscheidung: t > 0 und t < 0. (Für t = 0 ist [latex]f_0(x)=x[/latex]; das hat keine Wendestelle.)

Wenn ich mich nicht vertan habe, kommt [latex]t_1=-\sqrt{6}[/latex] und [latex]t_2=\sqrt{6}[/latex] raus.

Live long and prosper,
Gunnar

[Gunnar Bittersmann]

Wenn ich mich nicht vertan habe, kommt [latex]t_1=-\sqrt{6}[/latex] und [latex]t_2=\sqrt{6}[/latex] raus.

Argl, ich hab mich wohl vertan.

Wenn ich mich nicht mochmal vertan habe, kommt [latex]t_1=-1[/latex] und [latex]t_2=1[/latex] raus.

Live long and prosper,
Gunnar

[Daniel Thoma]

Hallo Gunnar,

Du suchst also dasjenige t, für das gilt: [latex]|x_w(t) - 0| = \left|- \frac{t^2+1}{3t}\right|=min[/latex]

Fallunterscheidung: t > 0 und t < 0. (Für t = 0 ist [latex]f_0(x)=x[/latex]; das hat keine Wendestelle.)

Soweit so gut.

Wenn ich mich nicht vertan habe, kommt [latex]t_1=-\sqrt{6}[/latex] und [latex]t_2=\sqrt{6}[/latex] raus.

Aber wie hast Du das ausgerechnet?

Ich würde ja nach t ableiten und das 0 setzen: [latex]x_w'(t) = -1/3+1/3*t^2=0[/latex]
Damit kommt man also auf [latex]t_1 = 1; t_2 = -1[/latex]

Für [latex]\sqrt{6}[/latex] bekommt man ca. 0.95 für 1 hingegen 0.67.

Grüße

Daniel

[Gunnar Bittersmann]

Ich würde ja nach t ableiten und das 0 setzen:

Ich auch, Daniel. Nur hatte ich dabei zuerst vertan.

[latex]x_w'(t) = -1/3+1/3*t^2=0[/latex]
Damit kommt man also auf [latex]t_1 = 1; t_2 = -1[/latex]

Genaugenommen stimmt das so nicht. Gesucht ist das Minimum von [latex]d(t)=|x_w(t)|[/latex].

Für t > 0 ist
[latex]d(t)=\frac{t^2+1}{3t}[/latex]
[latex]d'(t)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3t^2}[/latex]
Einzige(!) Lösung für [latex]d'(t)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3t^2}=0[/latex] ist [latex]t_1 = 1[/latex]

Für t < 0 ist
[latex]d(t)=-\frac{t^2+1}{3t}[/latex]
[latex]d'(t)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3t^2}[/latex]
Einzige(!) Lösung für [latex]d'(t)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3t^2}=0[/latex] ist [latex]t_2 = -1[/latex]

Live long and prosper,
Gunnar

[Gunnar Bittersmann]

[latex]x_w'(t) = -1/3+1/3*t^2=0[/latex]

Daniel, das hieße [latex]x_w'(t) = -\frac{1}{3}+\frac{1}{3}t^2=0[/latex]

Du meintest aber [latex]x_w'(t) = -\frac{1}{3}+\frac{1}{3t^2}=0[/latex]

Dann musst du klammern: [latex]x_w'(t) = -1/3+1/(3*t^2)=0[/latex]

Oder wennschon [latex]\LaTeX[/latex], dann gleich richtige Schreibweise mit Brüchen. ;-)

Live long and prosper,
Gunnar

[Daniel Thoma]

Hallo Gunnar,

Dann musst du klammern: [latex]x_w'(t) = -1/3+1/(3*t^2)=0[/latex]

Oh ja, da hab ich mich verteXt.

Aber was Deine Fallunterscheidung angeht, ja natürlich hast Du im Prinzip Recht, aber da man ja gleich sieht, dass das Ding punktsymetrisch zum Ursprung ist, kann man da schon etwas pragmatischer herangehen ;-)

Grüße

Daniel

[Gunnar Bittersmann]

Aber was Deine Fallunterscheidung angeht, ja natürlich hast Du im Prinzip Recht, aber da man ja gleich sieht, dass das Ding punktsymetrisch zum Ursprung ist, kann man da schon etwas pragmatischer herangehen ;-)

Daniel,
Wenn man das sauber aufschreibt („aus Symmetriegründen gilt …“), ja. Aber ich glaube, die Suche nach einer stichhaltigen Formulierung ist aufwendiger als die Fallunterscheidung. ;-)

Live long and prosper,
Gunnar

[Daniel Thoma]

Hallo Gunnar,

Wenn man das sauber aufschreibt („aus Symmetriegründen gilt …“)

Wir sind doch hier nicht in der Schule. Offensichtlich gilt... ;-)

Grüße

Daniel

[romy]

Hi Gunnar,

Nicht ganz. Wende_stelle_ heißt die x-Koordinate des Wendepunktes; diese soll so nah wie möglich bei x = 0 liegen – nicht bei (x|y) = (0|0) –, also [latex]|x_w(t) - 0| = min[/latex]
Du suchst also dasjenige t, für das gilt: [latex]|x_w(t) - 0| = \left|- \frac{t^2+1}{3t}\right|=min[/latex]

Die Berechnung des t war mir mit dem Hinweis, dass ich ein Minimum suche auch klar. Ich versuchte mir zu erklären, wie ich darauf kommen kann, dass ich ein Minimum suche. Ich meine, ich habe es jetzt verstanden.
Ich danke Dir.

ciao
romy

[Gunnar Bittersmann]

Ich versuchte mir zu erklären, wie ich darauf kommen kann, dass ich ein Minimum suche.

romy,
„so nah wie möglich“ → so klein wie möglich → minimal ;-)

Live long and prosper,
Gunnar

[Tobias]

Hi Romy,

bezeichnen wir mit x0 die von Dir ausgerechnete Wendestelle, dann befinden sich alle Wendestellen (in Abhängigkeit von t) auf der Kurve (x0,y0), wobei man y0 erhält, wenn man x0 in f einsetzt. Diese Kurve (parametrische Darstellung!) kann man sich ja mal für t zwischen 0.1 und 3 veranschaulichen. Dann sieht man, daß die x-Koordinate für t=1 minimal wird. Nimmt man in der Tat den Abstand des Wendepunktes in der Ebene vom Ursprung, sprich x0^2+y0^2 (Wurzel weglassen), nach t ableiten, Polynom größeren Grades numerisch lösen, um die Nullstelle zu finden, so stößt man auf etwa t=1.060 als Lösung, aber ob das Abiturwissen ist?

Gruß,

Tobias