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echo $begrüßung;
Wie geht das?
das Stichwort Deines Vertrauens lautet AJAX.
Die Aufgabenstellung sieht mir auch so aus, als ob bei der Datenmenge eine AJAX-Abfrage sinnvoll ist.
Ist die Datenmenge jedoch überschaubar gering, könnte sie auch gleich im Dokument mitgesendet werden. Das Prinzip wäre zum Beispiel folgendes: Zu jedem Option-Element des Select-Elements A gibt es eine Datenstruktur D (z.B. Array - es kann auch ein großes verschachteltes sein), das die im Select-Element B anzuzeigenden Option-Daten enthält. Wird in A etwas gewählt, werden die Elemente aus B entfernt und die Daten der entsprechenden (Teil-)Struktur D angehängt.
Bei einer Lösung mit AJAX wäre das Prinzip das gleiche, nur dass die Daten über AJAX-Abfrage geliefert werden.
echo "$verabschiedung $name";