DB abfrage in Schleife

[dedlfix]

echo $begrüßung;

$sth = $dbh->prepare($query);
while($sth->fetch())
$sth = $dbh->prepare($query);
[...]
}

Du verwendest für die innere Abfrage die gleiche Variable wie für die äußere, und überschreibst deren Inhalt. Damit kann die äußere Abfrage bei einem zweiten Schleifendurchlauf nicht mehr funktionieren.
Abgesehen von diesem Fehler solltest du Vinzenz' Vorschlag beachten.

echo "$verabschiedung $name";