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Hallo azok,
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y' - 4y = e^x
[/latex]
Hier ist die Lösung der homogenen Gleichung [latex]y' - 4y = 0[/latex] gegeben durch [latex]y_h(x) = e^{4x}[/latex] (mehr oder weniger trivial) und für die partikuläre Lösung lohnt sich am besten ein "Ansatz vom Typ der rechten Seite", d.h. [latex]y_p(x) = c\cdot e^x[/latex] woraus folgt: [latex]c - 4c = 1[/latex] und damit [latex]c = -\frac{1}{3}[/latex] wodurch sich dann die allgemeine Lösung des Gleichungssystems durch [latex]y_a(x) = \lambda \cdot e^{4x} - \frac{1}{3} e^x[/latex] und [latex]\lambda[/latex] durch die Anfangsbedingung bestimmt ist.
Variation der Konstanten würde auch zum Ziel führen (mit der homogenen Lösung), allerdings ist das in meinen Augen aufwändiger.
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xy' + y = \sqrt {x}
[/latex]
Die homogene Lösung ist über Trennung der Veränderlichen zu bestimmen (oder man sieht, dass y = -x Lösung der homogenen Gleichung ist), die partikuläre Lösung wieder durch "Ansatz vom Typ der rechten Seite" (funktioniert natürlich nicht immer, aber hier schon).
Zum Rest fällt mir die Gesamtlösung nicht auf den ersten Blick ins Auge, müsste ich erst durchrechnen.
Viele Grüße,
Christian