Differentialgleichungen

[azok]

hi!

Zunächst einmal möchte ich mich für dieses off-Topic-Posting entschuldigen, allerdings weiß ich nicht, wo ich sonst eine Frage in diese Richtung hin gehen stellen könnte...

Nun, kurz und gut, ich soll bis morgen einen Übungszettel voll von (einfachen) Differentialgleichungen lösen. Allerdings hat unser Prof. dieses Kapitel nur sehr kurz angeschnitten, mit dem Verweis, in die Materie im nächsten Semester tief(er) einzudringen. Dennoch sollen wir eben diesen Zettel für die morgige Übung lösen.

Nun, jetzt sitze ich seit Stunden und brüte über folgender Gleichung mit gegebener Anfangsbedingung:

[latex]
y' = y^2 + 1, y\left(1\right)=0
[/latex]

Ich hatte das ganze zunächst aufzulösen versucht, in dem ich die Variablen trenne. Das führte mich schlussendlich auf:

[latex]
\frac {dy}{dx} - y^2 = 1
[/latex]

Gut. Daran stört mich dieses [latex]y^2[/latex]. - Was soll ich damit machen? Multipliziere ich die Gleichung mit [latex]dx[/latex], komme ich auf:

[latex]
dy - y^2 dx = dx
[/latex]

Das bringt mir nicht viel, denke ich mal. Denn [latex]y^2[/latex] kann man ja "schlecht" nach [latex]dx[/latex] integrieren. Gut, ich meine, es würde mich auf [latex]xy^2[/latex] führen. - Aber darf ich mir die Differentialgleichung dann etwa so zusammensetzen - wohl kaum...:

[latex]
\int 1,dy - \int y^2,dx = \int 1,dx
[/latex]

...ich wäre dankbar für jede Hilfe...

• Kennt jemand von euch darüber eine gute Seite oder so, mit deren Hilfe ich Schritt für Schritt das Lösen von Differentialgleichungen erlernen kann??

Herzliche Grüße
 azok

[Integral]

Trennung der VAriablen war das Stichwort - aber gleich ganz am Anfang musst du das machen:

[latex]
\frac {dy}{y^2 + 1} = dx
[/latex]

[azok]

hi!

Trennung der VAriablen war das Stichwort - aber gleich ganz am Anfang musst du das machen:

[latex]
\frac {dy}{y^2 + 1} = dx
[/latex]

Oh. Danke!

...manchmal sieht man den Wald ja vor lauter Bäumen nicht. ...ja... also danke!!

Ähnlich dürften dann auch

[latex]
y' - 4y = e^x
[/latex]

[latex]
xy' + y = \sqrt {x}
[/latex]

[latex]
x \ln (x) y' + y = xe^x
[/latex]

[latex]
xy' + xy = 1, x > 0, y(1) = 2
[/latex]

[latex]
y' + \left ( \frac {1}{x} + 1 \right ) y = \frac {1}{x}, x > 0, y(1) = 0
[/latex]

zu sein. (...tippe mal auf variation der Konstanten...)

lg
azok

[Christian Seiler]

Hallo azok,

[latex]
y' - 4y = e^x
[/latex]

Hier ist die Lösung der homogenen Gleichung [latex]y' - 4y = 0[/latex] gegeben durch [latex]y_h(x) = e^{4x}[/latex] (mehr oder weniger trivial) und für die partikuläre Lösung lohnt sich am besten ein "Ansatz vom Typ der rechten Seite", d.h. [latex]y_p(x) = c\cdot e^x[/latex] woraus folgt: [latex]c - 4c = 1[/latex] und damit [latex]c = -\frac{1}{3}[/latex] wodurch sich dann die allgemeine Lösung des Gleichungssystems durch [latex]y_a(x) = \lambda \cdot e^{4x} - \frac{1}{3} e^x[/latex] und [latex]\lambda[/latex] durch die Anfangsbedingung bestimmt ist.

Variation der Konstanten würde auch zum Ziel führen (mit der homogenen Lösung), allerdings ist das in meinen Augen aufwändiger.

[latex]
xy' + y = \sqrt {x}
[/latex]

Die homogene Lösung ist über Trennung der Veränderlichen zu bestimmen (oder man sieht, dass y = -x Lösung der homogenen Gleichung ist), die partikuläre Lösung wieder durch "Ansatz vom Typ der rechten Seite" (funktioniert natürlich nicht immer, aber hier schon).

Zum Rest fällt mir die Gesamtlösung nicht auf den ersten Blick ins Auge, müsste ich erst durchrechnen.

Viele Grüße,
Christian

[seth_not@home]

gudn tach!

Zunächst einmal möchte ich mich für dieses off-Topic-Posting entschuldigen

ich find mathe nicht schlimm. :-)

, allerdings weiß ich nicht, wo ich sonst eine Frage in diese Richtung hin gehen stellen könnte...

z.b. matheraum.de oder matheplanet.com

• Kennt jemand von euch darüber eine gute Seite oder so, mit deren Hilfe ich Schritt für Schritt das Lösen von Differentialgleichungen erlernen kann??

wenn du nach analysis-vorlesungs-scripten suchst, sollte da einiges nuetzliche dabei sein.
rezeptartige scripten findet man meist bei ingenieurs-mathe-vorlesungen.

prost
seth