Mathematisches Problem: Lösung einer Differentialgleichung

[Lothar]

Hallo!

Seit geraumer Zeit brüte ich vor einem Beispiel, welches ich bis morgen gerechnet haben soll(te). Dabei stoße ich immer wieder auf eine Differentialgleichung, von der ich nicht weiß, wie ich sie lösen kann.

Mein Ziel ist es, auf [latex]y(t)= ... [/latex]

[latex]m, k[/latex] und [latex]g[/latex] sind dabei Konstanten:

[latex]\ddot y * m = -k * \ddot y -m*g[/latex]

Ich habe schon Einiges Probiert, aber überall stört dieses [latex]-m*g[/latex].

Schöne Grüße,
 Lothar

[Daniel Thoma]

Hallo Lothar,

[latex]\ddot y * m = -k * \ddot y -m*g[/latex]

Da müsste noch irgendwie ein y drin vor kommen, damit es eine Differentialgleichung ist, so ist das nur eine etwas merkwürdig aufgeschriebene zweite Ableitung...

Grüße

Daniel

[Lothar]

Hallo Lothar,

[latex]\ddot y * m = -k * \ddot y -m*g[/latex]

Da müsste noch irgendwie ein y drin vor kommen, damit es eine Differentialgleichung ist, so ist das nur eine etwas merkwürdig aufgeschriebene zweite Ableitung...

Ich habe mich gestern leider verschrieben. - Korrekt heißt die DGL:

[latex]\ddot y * m = -k * \dot y -m*g[/latex]

Grüße

Daniel

lg

[Hopsel]

Hi Lothar!

Wie Daniel schon schrieb, ist das keine Differentialgleichung.

Für [latex]m \neq k[/latex] gilt:

[latex]\ddot y = \frac{-m g}{m+k}[/latex]

Viel Spaß weiterhin. =)

MfG H☼psel

[JürgenB]

Hallo Lothar,

[latex]m, k[/latex] und [latex]g[/latex] sind dabei Konstanten:

[latex]\ddot y * m = -k * \ddot y -m*g[/latex]

bist du sicher, dass hier [latex]-k * \ddot y[/latex] nicht die erste Ableitung hin muss, also [latex]-k * \dot y[/latex]?

Solche Gleichungen löst man mit einer e-Funktion, also [latex]y = a * \sin b * t[/latex]

Gruß, Jürgen

[JürgenB]

Hallo JürgenB,

Solche Gleichungen löst man mit einer e-Funktion, also [latex]y = a * \sin^2 b * t[/latex]

jetz habe ich beim Latexüben das Häkchen bei der Vorschau vergessen. Es mus natürlich [latex]y = a * \exp( b * t )[/latex] heißen.

Gruß, Jürgen

[Lothar]

Hallo

bist du sicher, dass hier [latex]-k * \ddot y[/latex] nicht die erste Ableitung hin muss, also [latex]-k * \dot y[/latex]?

Du hast recht. Dabei handelt es sich um die erste Ableitung!

lg

[Hopsel]

Hi Lothar!

bist du sicher, dass hier [latex]-k * \ddot y[/latex] nicht die erste Ableitung hin muss, also [latex]-k * \dot y[/latex]?
Du hast recht. Dabei handelt es sich um die erste Ableitung!

Also: [latex]\ddot y m = -k \dot y -mg[/latex]

[latex]m \ddot y + k \dot y = -mg[/latex]

Daraus ergibt sich folgende charakteristische Gleichung:

[latex]m \lambda^2 + k \lambda = 0[/latex]

[latex]\lambda_1 = 0[/latex] und [latex]\lambda_2 = -\frac{k}{m}[/latex]

[latex]y_{homogen}(t) = D_1 + D_2e^{-\frac{k}{m}t}[/latex]

[latex]-mg[/latex] ordnest du jetzt ein [latex]\mu = 0[/latex] zu.
Daraus ergibt sich ein Ansatz für [latex]y_{inhomogen}(t) = At[/latex] (da [latex]\mu = \lambda_1[/latex]).

Das setzen wir jetzt in die gegebene Gleichung ein (und brauchen dafür natürlich noch die erste und zweite Ableitung von [latex]y_{inhomogen}(t)[/latex]):
[latex]kA = -mg[/latex]
[latex]A = -\frac{mg}{k}[/latex]

Also: [latex]y_{inhomogen}(t) = -\frac{mg}{k}t[/latex]

Für [latex]y(t) = y_{homogen}(t) + y_{inhomogen}(t)[/latex] ergibt sich damit:

[latex]y(t) = -\frac{mg}{k}t + D_1 + D_2e^{-\frac{k}{m}t}[/latex]

Wenn du jetzt noch Anfangswerte gegeben hast, kannst du auch noch D1 und D2 bestimmen.

Ich hoffe, ich habe mich mit meinen Ausführungen nicht in die Nesseln gesetzt.
Fehler sind auf meinen Mathe-Professor zurückzuführen. Er hat uns die "Ansatzmethode für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten" beigebracht. Aber ihr werdet mich schon auf Fehler hinweisen... =)

Aber egal, ob das jetzt richtig oder falsch ist, ich hoffe, es gibt dir einen kleinen Denkanstoß.

MfG H☼psel

[Gunnar Bittersmann]

@@Lothar:

Wenn Ihr Euch schon soviel Mühe mit LaTeX gebt, dann benutzt doch bitte auch das Malzeichen \cdot, nicht den Stern-Operator.

[latex]m \cdot \dot{y} = -k \cdot \ddot{y} - m \cdot g[/latex]

Live long and prosper,
Gunnar