Mathematisches Problem: Lösung einer Differentialgleichung

[Hopsel]

Hi Lothar!

bist du sicher, dass hier [latex]-k * \ddot y[/latex] nicht die erste Ableitung hin muss, also [latex]-k * \dot y[/latex]?
Du hast recht. Dabei handelt es sich um die erste Ableitung!

Also: [latex]\ddot y m = -k \dot y -mg[/latex]

[latex]m \ddot y + k \dot y = -mg[/latex]

Daraus ergibt sich folgende charakteristische Gleichung:

[latex]m \lambda^2 + k \lambda = 0[/latex]

[latex]\lambda_1 = 0[/latex] und [latex]\lambda_2 = -\frac{k}{m}[/latex]

[latex]y_{homogen}(t) = D_1 + D_2e^{-\frac{k}{m}t}[/latex]

[latex]-mg[/latex] ordnest du jetzt ein [latex]\mu = 0[/latex] zu.
Daraus ergibt sich ein Ansatz für [latex]y_{inhomogen}(t) = At[/latex] (da [latex]\mu = \lambda_1[/latex]).

Das setzen wir jetzt in die gegebene Gleichung ein (und brauchen dafür natürlich noch die erste und zweite Ableitung von [latex]y_{inhomogen}(t)[/latex]):
[latex]kA = -mg[/latex]
[latex]A = -\frac{mg}{k}[/latex]

Also: [latex]y_{inhomogen}(t) = -\frac{mg}{k}t[/latex]

Für [latex]y(t) = y_{homogen}(t) + y_{inhomogen}(t)[/latex] ergibt sich damit:

[latex]y(t) = -\frac{mg}{k}t + D_1 + D_2e^{-\frac{k}{m}t}[/latex]

Wenn du jetzt noch Anfangswerte gegeben hast, kannst du auch noch D1 und D2 bestimmen.

Ich hoffe, ich habe mich mit meinen Ausführungen nicht in die Nesseln gesetzt.
Fehler sind auf meinen Mathe-Professor zurückzuführen. Er hat uns die "Ansatzmethode für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten" beigebracht. Aber ihr werdet mich schon auf Fehler hinweisen... =)

Aber egal, ob das jetzt richtig oder falsch ist, ich hoffe, es gibt dir einen kleinen Denkanstoß.

MfG H☼psel