Nach input durch User Seite direkt ausgeben

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Wenn ich Ekkis Hinweis richtig verstanden habe, kann der Header zur Ausgabe einer über form action gewählten Seite nicht gesendet werden, weil bereits ein header gesendet wurde, denn der vorhandene Quelltext mischt html und PHP.
Gibt es eine Möglichkeit, das zu umgehen?

Die übersichtlichste Methode ist wohl, die Programmausführung in die drei Schritte Eingabe, Verarbeitung und Ausgabe zu trennen, genannt das EVA-Prinzip. Damit hast du erst dann Ausgaben, wenn die Verarbeitung abgeschlossen ist und kannst vorher beliebig Header-modifizierende Funktionen verwenden. Die Verarbeitung berechnet oder sammelt alle Werte zusammen, die in die Ausgabe einfließen sollen und legt sie in einer geeigneten Datenhaltung ab (Variablen, ein Array, was auch immer). Der Ausgabeteil kombiniert diese Werte mit dem statischen Text.

Eine weitere Möglichkeit ist, die Ausgabe zu puffern, dafür gibt es die Output Buffering Control Functions (inklusive kleinem Beispiel).

echo "$verabschiedung $name";