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Mathematik -> Vektorrechnung
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Gunnar Bittersmann
Mathematik -> Vektorrechnung
Hallo zusammen,
mal wieder eine Frage aus der Abiturzeit. ;)
Gegeben seien 2 Vektoren a und b:
a=(3,2,-2)
b=(1,0,3)
Gesucht ist ein Vektor c mit Länge 2, der auf a und b senkrecht steht.
Dadurch bekomme ich folgende Gleichungen:
3Cx + 2Cy - 3Cz = 0
1Cx + 0Cy + 3Cz = 0
(weil zwei Vektoren senkrecht stehen, wenn das Skalarprodukt 0 ist)
Und die Gleichung:
Wurzel(Cx² + Cy² + Cz²) = 2 (durch die Längegleichung)
Sorry für die Schreibweise, ich weiß nicht, wie das mit dem LaTEX geht.
Das hilft mir aber nicht wirklich, weil ich ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen nicht lösen kann und weil ich diese Längengleichung nicht so umstellen kann, dass ich sie dazu benutzen kann.
Mhm. Wenn c auf a und b senkrecht steht, haben dann a und b eine bestimmte Beziehung zueinander, die ich nutzen könnte.
Danke schön!
ciao
romy
-
Yerf!
mal wieder eine Frage aus der Abiturzeit. ;)
Ist zwar schon viel zu lange her, aber vielleicht gibts nen kleinen Denkanstoß.
Das hilft mir aber nicht wirklich, weil ich ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen nicht lösen kann und weil ich diese Längengleichung nicht so umstellen kann, dass ich sie dazu benutzen kann.
Das wirst du aber müssen, denn ich denke nicht, das es noch eine andere Beziehung gibt, die hier noch eine Gleichung liefern könnte.
Mhm. Wenn c auf a und b senkrecht steht, haben dann a und b eine bestimmte Beziehung zueinander, die ich nutzen könnte.
Die einzige Beziehung zwischen a und b ist, dass es eine Ebene gibt zu der beide Vektoren parallel liegen. Zu dieser wird dann c ebenfalls senkrecht stehen. Dies ergibt aber nur die Richtung für c, es fehlt noch die Länge für eine exakte Bestimmung.
Gruß,
Harlequin
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Hi Harlequin,
Mhm. Wenn c auf a und b senkrecht steht, haben dann a und b eine bestimmte Beziehung zueinander, die ich nutzen könnte.
Die einzige Beziehung zwischen a und b ist, dass es eine Ebene gibt zu der beide Vektoren parallel liegen. Zu dieser wird dann c ebenfalls senkrecht stehen. Dies ergibt aber nur die Richtung für c, es fehlt noch die Länge für eine exakte Bestimmung.Die Länge war ja als 2 gegeben und somit kann man es auf diese Weise auch bestimmen, danke!
ciao
romy
-
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3Cx + 2Cy - 3Cz = 0
1Cx + 0Cy + 3Cz = 0untere (Cx=-3Cz) in obere eingesetzt ergibt
-9Cz+2Cy-2Cy=0
2Cy=11Cz
Cy=11/2 Czsetze Cz=2
=> Cy=11
=> Cx=-6jetzt hast du einen von unendlich vielen Vektoren die senkrecht auf a und b stehen.
Mach ihn nun etwas kürzer, dass der Betrag 2 ist
-
Hi gast42,
setze Cz=2
=> Cy=11
=> Cx=-6
Mach ihn nun etwas kürzer, dass der Betrag 2 istIch hätte erwartet, dass die Ergebnisse aus Gunnars Lösung gleich deiner wären, sind sie aber nicht, ich rechne das interesshalber nochmal nach. Geht aber erst heute Abend.
ciao
romy-
Tach,
Ich hätte erwartet, dass die Ergebnisse aus Gunnars Lösung gleich deiner wären, sind sie aber nicht, ich rechne das interesshalber nochmal nach.
die müssen allerdings außer bei der Orientierung gleich sein, also wirst du dich beim Kreuzprodukt wohl verrechnet haben.
mfg
Woodfighter-
@@Jens Holzkämper:
die müssen allerdings außer bei der Orientierung gleich sein, also wirst du dich beim Kreuzprodukt wohl verrechnet haben.
Nach Sarrus:
[latex]\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \ 3 & 2 & -2 \ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \vec{e_x} - 2 \vec{e_y} + 0 \vec{e_z} + 0 \vec{e_x} - 9 \vec{e_y} - 2 \vec{e_z} = \begin{pmatrix} 6 \ -11 \ -2 \end{pmatrix}[/latex]
Bis aufs Vorzeichen mit dem Ergebnis von gast42 gleich.
Bloß schade, dass 6² + 11² + 2² keine Quadratzahl ist.
Live long and prosper,
Gunnar--
Das einzige Mittel, den Irrtum zu vermeiden, ist die Unwissenheit. (Jean-Jacques Rousseau)-
Tach,
[latex]\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \ 3 & 2 & -2 \ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \vec{e_x} - 2 \vec{e_y} + 0 \vec{e_z} + 0 \vec{e_x} - 9 \vec{e_y} - 2 \vec{e_z} = \begin{pmatrix} 6 \ -11 \ -2 \end{pmatrix}[/latex]
Bis aufs Vorzeichen mit dem Ergebnis von gast42 gleich.
und trotzdem falsch ;-)
[latex]\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 3 \end{pmatrix}[/latex] sollte das eigentlich vor dem ersten Gleichheitszeichen heißen.
mfg
Woodfighter
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Hi Jens,
die müssen allerdings außer bei der Orientierung gleich sein, also wirst du dich beim Kreuzprodukt wohl verrechnet haben.
Hab mich verrechnet:
Cx=6
Cy=-11
Cz=-2der Faktor um die Länge auf 2 zu bringen lautet dann 2/Wurzel(161).
Vielen Dank!
ciao
romy
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@@romy:
Gesucht ist ein Vektor c mit Länge 2, der auf a und b senkrecht steht.
Das Vektorprodukt steht senkrecht auf a und b. Den auf die gewünschte Länge zu skalieren dürfte nicht so schwer sein.
Live long and prosper,
Gunnar--
Das einzige Mittel, den Irrtum zu vermeiden, ist die Unwissenheit. (Jean-Jacques Rousseau)-
Hi Gunnar,
Das Vektorprodukt steht senkrecht auf a und b. Den auf die gewünschte Länge zu skalieren dürfte nicht so schwer sein.
Danke, das hat geholfen.
ciao
romy
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