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Hallo,
Ich weiß nicht, wie man es anstellt das (1/G) herauszuheben und auf diese Form zu kommen.
Das ist simple Separation von Brüchen. Es gilt allgemein folgende Relation:
[latex]\frac{1}{AB} = \frac{a}{A} + \frac{b}{B}[/latex]
Hierbei kann man die Konstanten [latex]a[/latex] und [latex]b[/latex] durch Rückwärtsrechnen bestimmen. In diesem Fall:
[latex]\frac{1}{f(G - f)} = \frac{a}{f} + \frac{b}{G-f} = \frac{(G-f)a + fb}{f (G-f)} = \frac{Ga - f (a - b)}{f (G - f)}[/latex]
Hier hast Du im Zähler nun den Ausdruck [latex]Ga - f (a - b)[/latex]. Der Gesamtausdruck muss 1 ergeben. Da Du hier über [latex]f[/latex] integrierst, muss die Lösung aber unabhängig von [latex]f[/latex] sein, d.h. Du musst die Koeffizienten in Anteile mit [latex]f[/latex] und ohne [latex]f[/latex] trennen. Das habe ich bereits getan und es muss nun ferner gelten:
[latex]Ga = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{G}[/latex]
[latex]a - b = 0 \Rightarrow b = a = \frac{1}{G}[/latex]
Und damit gilt dann:
[latex]\frac{1}{f(G-f)} = \frac{\frac{1}{G}}{f} + \frac{\frac{1}{G}}{G - f} = \frac{1}{G}\cdot\left(\frac{1}{f} + \frac{1}{G-f}\right)[/latex]
Viele Grüße,
Christian