kleines Matheproblem 8 Klasse: Formel umformen

[Joachim]

Hi all,

ich muss meinet Tochter beim Formel umformen helfen, und merke grade, dass ich entweder alles vergessen habe oder der Alzheimer bereits zuschlägt.

Also 1/f = 1/g + 1/b soll nach f aufgelöst werden:
Mein Ansatz wäre wie folgt, bitte um Bestätigung oder Korrektur:

1/f = 1/g + 1/b | *f | *b | *g
bg = fb + fg
bg = f(b + g) | : (b + g)
bg/b + g = f

Danke und Gruesse, Joachim

[bleicher]

Grüße,
1/f=1/g+1/b

1/f=(b+g)/bg

f=bg/(b+g)

würde ich sagen
MFG
bleicher

[Joachim]

Hi bleicher,

f=bg/(b+g)

ist das nicht das gleiche wie bg/b + g = f?

Gruesse, Joachim

[minicrispie]

Hallo,

Hi bleicher,

»» f=bg/(b+g)
ist das nicht das gleiche wie bg/b + g = f?

nein. Punkt-vor-Strichrechnung:

3*2/3+2   =   4
3*2/(3+2) = 1.2

MfG. Christoph Ludwig

[Joachim]

Hi,

nein. Punkt-vor-Strichrechnung:

arrgs. Muss doch schon Alzheimer sein

Danke & Gruesse, Joachim

[Auge]

Hallo

Hallo,

»» Hi bleicher,
»»
»» »» f=bg/(b+g)
»» ist das nicht das gleiche wie bg/b + g = f?

nein. Punkt-vor-Strichrechnung:

Das ist zwar grundsätzlich richtig, aber auf einem Stück Papier notiert, wäre die Umstellung der Formel selbsterklärend, da "b+g" gemeinsam unter dem Bruchstrich stünden und somit als *ein* Ausdruck zu erkennen wären (womit die Klammerung obsolet wird).

Ich versuche mich mal in LaTeX:

[latex]
f = \frac{bg}{b+g}
[/latex]

Tschö, Auge

[Gunnar Bittersmann]

@@Joachim:

nuqneH

Also 1/f = 1/g + 1/b soll nach f aufgelöst werden:

Auf beiden Seiten der Gleichung das Reziproke bilden:

[latex]f = \frac{1}{\frac{1}{g} + \frac{1}{b}}[/latex]

Wenn einem der Doppelbruch nicht gefällt, mit b · g erweitern:

[latex]f = \frac{b \cdot g}{\frac{b \cdot g}{g} + \frac{b \cdot g}{b}}[/latex]

und kürzen:

[latex]f = \frac{b \cdot g}{b + g}[/latex]

Qapla'

[Bademeister]

Hi,

ich muss meinet Tochter beim Formel umformen helfen, und merke grade, dass ich entweder alles vergessen habe oder der Alzheimer bereits zuschlägt.

das schliesst sich ja nicht gegenseitig aus ;-)

Also 1/f = 1/g + 1/b soll nach f aufgelöst werden:
Mein Ansatz wäre wie folgt, bitte um Bestätigung oder Korrektur:

1/f = 1/g + 1/b | *f | *b | *g
bg = fb + fg
bg = f(b + g) | : (b + g)
bg/b + g = f

Stimmt (die fehlenden Klammern unten dazugedacht) je nachdem, was man mit Umformen meint. Soll heissen: Du gewinnst Loesungen - die Gleichungen sind nicht aequivalent.

Viele Gruesse
der Bademeister

[Jens Holzkämper]

Tach,

Stimmt (die fehlenden Klammern unten dazugedacht) je nachdem, was man mit Umformen meint. Soll heissen: Du gewinnst Loesungen - die Gleichungen sind nicht aequivalent.

aber nur wenn man den Wertevorrat nicht beachtet. Für [latex]b,f,g \in \mathbb{R} \backslash {0}[/latex] sind sie äquivalent.

mfg
Woodfighter

[Jens Holzkämper]

Tach,

Stimmt (die fehlenden Klammern unten dazugedacht) je nachdem, was man mit Umformen meint. Soll heissen: Du gewinnst Loesungen - die Gleichungen sind nicht aequivalent.

aber nur wenn man den Wertevorrat nicht beachtet. Für [latex]b,f,g \in \mathbb{R} \backslash {0}[/latex] sind sie äquivalent.

Nachtrag:

Man verliert auch keine Lösungen, denn für b=-g ist sowohl die erste als auch die letzte Gleichung unlösbar.

mfg
Woodfighter

[Jens Holzkämper]

Tach,

statt [latex]b,f,g \in \mathbb{R} \backslash {0}[/latex] ist natürlich [latex]b,f,g \in \mathbb{R} \setminus {0}[/latex] besser, auch wenn es fast gleich aussieht.

mfg
Woodfighter

[Bademeister]

Hi Woodfighter,

aber nur wenn man den Wertevorrat nicht beachtet.

wenn man den was??? Ist

»»[latex]b,f,g \in \mathbb{R} \setminus {0}[/latex]

das gottgegeben?

Viele Gruesse,
der Bademeister

[Jens Holzkämper]

Tach,

Ist

»»[latex]b,f,g \in \mathbb{R} \setminus {0}[/latex]

das gottgegeben?

nein, [latex]\mathbb{R}[/latex] ergibt sich als maximaler Vorrat für eine Aufgabe der 8. Klasse, die Differenz mit der Menge, die nur Null enthält, ergibt sich aus der Ausgangsgleichung, da b,f und g jeweils Nenner eines Bruches sind.

mfg
Woodfighter

[Bademeister]

Hi,

nein, [latex]\mathbb{R}[/latex] ergibt sich als maximaler Vorrat für eine Aufgabe der 8. Klasse, die Differenz mit der Menge, die nur Null enthält, ergibt sich aus der Ausgangsgleichung [...]

aber nicht aus der ermittelten Gleichung. Ich dachte, der Zweck des Umformens von Gleichungen ist, dass man eine neue Gleichung erhaelt, die dieselbe Informationen ueber die Loesungsmenge liefert wie die alte. Siehst Du das anders?

Viele Gruesse,
der Bademeister

[Jens Holzkämper]

Tach,

aber nicht aus der ermittelten Gleichung. Ich dachte, der Zweck des Umformens von Gleichungen ist, dass man eine neue Gleichung erhaelt, die dieselbe Informationen ueber die Loesungsmenge liefert wie die alte. Siehst Du das anders?

der erlaubte Wertebereich für jede Variable ist integraler Bestandteil der Gleichung; im Unterricht nimmt man üblicherweise den größtmöglichen, solange kein anderer angegeben ist. Innerhalb einer Aufgabe muß er dann allerdings gleichbleibend sein, dementsprechend gehen keine Informationen verloren. Bei Funktionen ist die Angabe von Definitions- und Zielmenge üblicher, dass die Funktionen [latex]f\colon, \mathbb{R^+}\to \mathbb{R^+},\quad x\mapsto \sqrt{x}[/latex] und [latex]g\colon, \mathbb{R}\to \mathbb{C},\quad x\mapsto \sqrt{x}[/latex] sich deutlich unterscheiden, zeigt an dass die Angabe der verwendeten Mengen durchaus wichtig ist. Um auf Gleichungen zurück zu kommen: Die Gleichung [latex]x^2+1=0[/latex] hat je nach verwendetem Wertebereich für x zwischen null (z.B. für [latex]x \in \mathbb{R}[/latex]) und zu zwei Lösungen (z.B. [latex]x \in \mathbb{C}[/latex]).

mfg
Woodfighter

[Bademeister]

Hi,

der erlaubte Wertebereich für jede Variable ist integraler Bestandteil der Gleichung;

na gut. Ich haette das ein wenig anders gesehen. Eine Gleichung lebt von Natur aus in einer gewissen Welt ([latex]\mathbb{R}[/latex], [latex]\mathbb{C}[/latex] oder irgendeiner anderen) - das ist dadurch gegeben, welche Addition und Multiplikation verwendet wird (wobei man das den Symbolen natuerlich nicht ansieht, also muss man es dazu schreiben - aber das ist jedenfalls ein Bestandteil der Gleichung).

Wenn man dann die Gleichung loesen will, ist die Frage: Welche Zahlen(tupel) aus dieser Welt erfuellen die Gleichung? Jedes Zahlentupel erfuellt sie entweder, oder es erfuellt sie nicht. (f,g,h) = (0,0,1) erfuellt die Ausgangsgleichung nicht, weil 0 nicht mal im Definitionsbereich der auf f und g verwendeten Inversenfunktion ist. Aber (0,0,1) ist sehr wohl eine Loesung der Gleichung, in die der OP umgeformt hat.

Jetzt muesste man hier vielleicht ein paar Begriffe streichen, um das kompatibel fuer die achte Klasse zu machen, aber in der Sache dachte ich, dass es dort so behandelt wird. So was wie einen Definitionsbereich hat eine Funktion, aber dass auch eine Gleichung in der achten Klasse so etwas hat (einen "Wertebereich")...? Dann nehme ich das mal so hin.

Viele Gruesse,
der Bademeister

[Jens Holzkämper]

Tach,

Jetzt muesste man hier vielleicht ein paar Begriffe streichen, um das kompatibel fuer die achte Klasse zu machen, aber in der Sache dachte ich, dass es dort so behandelt wird.

meine Zeit in der achten Klasse ist noch länger her als die, die ich in der Mathe-Didaktik verbracht habe; aber ich kann mich erinnern, dass ich damals beim Lösen von Gleichungssystem prinzipiell alle gefundenen Lösungen zur Probe in die Ausgangsgleichung einsetzen mußte um zu überpüfen, dass es wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind. Die Nicht-Äquivalenz der Gleichungen zu erkennen wäre für einen Achtklässler schon eine erhebliche Transferleistung.

So was wie einen Definitionsbereich hat eine Funktion, aber dass auch eine Gleichung in der achten Klasse so etwas hat (einen "Wertebereich")...? Dann nehme ich das mal so hin.

Ich kann mich zumindest daran erinnern, viele Aufgaben der Form "Finde den optimalen Definitions- und Wertebereich" gelöst zu haben.

mfg
Woodfighter

[Volker Nebelung]

Aloha 'oe

»» bg = f(b + g) | : (b + g)

aber nur wenn man den Wertevorrat nicht beachtet. Für [latex]b,f,g \in \mathbb{R} \backslash {0}[/latex] sind sie äquivalent.

Bei b = -g gibt's ebenfalls ein Problem.

Gruß, Volker

[Jens Holzkämper]

Tach,

Bei b = -g gibt's ebenfalls ein Problem.

nein, siehe: https://forum.selfhtml.org/?t=187122&m=1243517; setzt man b = -g ein, erhält man in der ersten Zeile auf der linken Seite der Gleichung einen Wert ungleich Null und auf der rechten Null.

mfg
Woodfighter

[Volker Nebelung]

Aloha 'oe,

nein, siehe: https://forum.selfhtml.org/?t=187122&m=1243517; setzt man b = -g ein, erhält man in der ersten Zeile auf der linken Seite der Gleichung einen Wert ungleich Null und auf der rechten Null.

Ach richtig, du wolltest auf Äquivalenz hinaus.
Mea culpa.

Gruß, Volker