Mathe: Ungleichung auflösen

[Rafael]

Liebes Forum,
da ich schon öfters kompetente Mathehilfe bekommen habe, hoffe ich einmal wieder auf eure Zeit. Ich möchte feststellen, dass:

n * alpha * (1-alpha)^n < 1 wobei alpha zwischen 0 und 1 sowie n > 1. Nur komme ich zu keiner Möglichkeit das vernünftig aufzulösen. Kann mir denn jemand helfen?

Danke vielmals! Lg, Rafael

[Gunnar Bittersmann]

@@Rafael:

nuqneH

n * alpha * (1-alpha)^n < 1 wobei alpha zwischen 0 und 1 sowie n > 1. Nur komme ich zu keiner Möglichkeit das vernünftig aufzulösen. Kann mir denn jemand helfen?

Wenn du noch verraten würdest, wonach …

Qapla'

[Rafael]

Hi Gunnar,
wonach ist eigentlich egal. Ich will nur zeigen, dass obiges gilt, also wäre eine Form alpha < n praktisch, denn das ist ja per Annahme wahr.
Lg, Rafael

[Gunnar Bittersmann]

@@Rafael:

nuqneH

wonach ist eigentlich egal. Ich will nur zeigen, dass obiges gilt

Da kannst du mal sehen, wie wichtig ein vernünftig gewähltes Betreff ist. Ich hatte das im OP mehr beachtet als „Ich möchte feststellen, dass“.

Wenn du eine Ungleichung beweisen möchtest, dann sag das doch, und nicht „auflösen“.

Qapla'

[Encoder]

Hab lange rumüberlegt, aber guck mal hier
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=108053
Da ist von der Bernoulli-Ungleichung die Rede, die hilft dir weiter.
(1-alpha)^n ist laut ihr kleiner als 1 / (1+n*alpha)

[Rafael]

Hi Encoder,
perfekt - das klappt! Danke!!
Lg, Rafael

[Gunnar Bittersmann]

@@Encoder:

nuqneH

guck mal hier
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=108053

Kuck mal da:
http://forum.de.selfhtml.org/hilfe/bedienung.htm#verweise-einbinden

Da ist von der Bernoulli-Ungleichung die Rede, die hilft dir weiter.
(1-alpha)^n ist laut ihr kleiner als 1 / (1+n*alpha)

Laut Wikipeadia ist die Bernoulli-Ungleichung
[latex]\left( 1 + x \right)^n \ge 1 + nx \qquad x \ge -1, n \in \mathbb N, n \ge 1[/latex]

Wie kommt man von hier nach da?
[latex]\left( 1 - x \right)^n < \frac{1}{1 + nx} \qquad 0 < x < 1, n \in \mathbb N, n \ge 1[/latex]

Qapla'

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann:

nuqneH

Wie kommt man von hier nach da?

Oops, das steht ja auf der Seite weiter unten.

Wer lesen kan, ist klar im Vorteil.

Qapla'

[MudGuard]

Hi,

da ich schon öfters kompetente Mathehilfe bekommen habe, hoffe ich einmal wieder auf eure Zeit. Ich möchte feststellen, dass:
n * alpha * (1-alpha)^n < 1

Bei Unbekannten im Exponenten hilft's manchmal, den Logarithmus zu ziehen:

ln(n * alpha * (1-alpha)^n) < ln(1)

dann ein bißchen umgeformt (ln(1) = 0), ln(a*b) = ln(a) + ln(b), ln(a^b) = b*ln(a):

ln(n) + ln(alpha) + n*ln(1-alpha) < 0

ln(n) + n*ln(1-alpha) < ln(1/alpha)

Hm. Sieht auch nicht viel besser aus. Aber vielleicht hilft's Dir ja.
Oder ich hab mich verhaun ...

cu,
Andreas

[Rafael]

Hi Andreas,
danke für den Versuch. Habe ich auch schon probiert, aber intuitiver wird das auch nicht... :/ Sogar schon mit doppelten Logarithmen rumgerechnet. Das wird so nur immer größer und unverständlicher.
Lg, Rafael