Mathe

[Blaubart]

Tach.

Jetzt wüsste ich nur noch zu gerne, wie man denn selbst auf diese Lösung kommt, ohne diese "technischen Hilfsmittel" des Vorposters.

Ich kann Dir zeigen, wie ich's machen würde. Erstmal für eine beliebige Basis y:

[latex]
f(x,y) = \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^k
= \sum_{k=0}^{x} k \cdot y \cdot y^{k-1}
= y \cdot \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1}
= y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right)
[/latex]

Das war der clevere Teil, der Rest ist Rechnen. Der hintere Term ist die x-te Partialsumme der geometrischen Reihe, deren Lösung für [latex]y \ne 1[/latex] wir als bekannt voraussetzen können.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y^{x+1}-1}{y-1} \right)
[/latex]

Dann die Ableitung ausrechnen.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{(x+1) \cdot y^x - (y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
= \frac{(x+1) \cdot y^{x+1}}{(y-1)^2} - y \cdot \frac{(y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
[/latex]

Um jetzt wieder auf die Ursprungsaufgabe zurückzukommen, y = 2 einsetzen.

[latex]
f(x,2) = (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot (2^{x+1}-1)
= (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Fertig.

[latex]
\sum_{k=0}^{x} k \cdot 2^k = (x-1) \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Und da Gunnar die Korrektheit dieser Lösung schon bewiesen hat, hab ich mich anscheinend auch nicht verrechnet. ;)