Mathe

[Shark]

Hallo.

Ich habe folgende Summe:
i*2^i

und das ganze von i=0 bis x.
Wie kann ich diese Summe in einer Gleichung darstellen?
Ich weiß, dass es [1 - q^(n+1)] / (1 - q) wäre, wenn es 2^i und nicht i*2^i wäre. Kann ich das erste i irgendwie loswerden?

[Shark]

Hallo.

Ich habe folgende Summe:
i*2^i

und das ganze von i=0 bis x.
Wie kann ich diese Summe in einer Gleichung darstellen?
Ich weiß, dass es [1 - q^(n+1)] / (1 - q) wäre, wenn es 2^i und nicht i*2^i wäre. Kann ich das erste i irgendwie loswerden?

Im konkreten Beispiel wäre das übrigens für q = 2 und für n = x, sorry. Also so: [1 - 2^(x+1)] / (1 - 2)

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Shark!

Kann ich das erste i irgendwie loswerden?

loswerden nicht, jedoch ausklammern

Matthias

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, apsel!

loswerden nicht, jedoch ausklammern

falsche Idee, i ist der Summationsindex du trottel!

Matthias

[Shark]

Om nah hoo pez nyeetz, Shark!

Kann ich das erste i irgendwie loswerden?

loswerden nicht, jedoch ausklammern

Ausklammern? Das i erhöht sich doch immer, das ist ja keine Konstante. oO Oder wie genau meinst du das?

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Shark!

ich hab mich ja schon selbst berichtigt, aber immerhin kann ich dir das Ergebnis verraten: 2 * (x-1) * 2^x +2

einen Lösungsweg hab ich allerdings auf die Schnelle bnicht zur Hand.

Matthias

[Shark]

Om nah hoo pez nyeetz, Shark!

Äh, ja, sei auch gegrüßt... oo'

ich hab mich ja schon selbst berichtigt, aber immerhin kann ich dir das Ergebnis verraten: 2 * (x-1) * 2^x +2

einen Lösungsweg hab ich allerdings auf die Schnelle bnicht zur Hand.

xD Was? Wie bist du denn dann auf die Lösung gekommen, die ja anscheinend richtig ist. Zumindest sind alle meine Tests positiv ausgefallen.

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Shark!

xD Was? Wie bist du denn dann auf die Lösung gekommen, die ja anscheinend richtig ist. Zumindest sind alle meine Tests positiv ausgefallen.

technische Hilfsmittel ...

Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Shark:

nuqneH

immerhin kann ich dir das Ergebnis verraten: 2 * (x-1) * 2^x +2

Wir fassen zusammen:
[latex]\sum_{i=0}^x i \cdot 2^i = (x-1) \cdot 2^{x+1} + 2[/latex]

Zumindest sind alle meine Tests positiv ausgefallen.

Alle meine Tests? Nicht ewig testen, sondern beweisen!

Den Anfang* hast du ja gemacht. Nun machen wir den Schritt*:

Es gelte
[latex]\sum_{i=0}^n i \cdot 2^i = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2[/latex]

Zu zeigen: Dann gilt auch
[latex]\sum_{i=0}^{n+1} i \cdot 2^i = n \cdot 2^{n+2} + 2[/latex]

Beweis:
[latex]\sum_{i=0}^{n+1} i \cdot 2^i = \sum_{i=0}^n i \cdot 2^i + (n+1) \cdot 2^{n+1} = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2 + (n+1) \cdot 2^{n+1} = 2n \cdot 2^{n+1} + 2[/latex]

Qapla'

PS: Das Beweisen ist oft einfacher als das Finden einer Formel.

* Induktions-

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Gunnar Bittersmann!

noch Kenntnisse aus DDR-Klasse 11 oder erst während des Studiums?

Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@apsel:

nuqneH

noch Kenntnisse aus DDR-Klasse 11 oder erst während des Studiums?

Lange vorher. Hab damals auch etwas mehr Mathe gemacht: Kreisclub, Bezirksclub. Wie war das? Mathe-Olympiade darf man nicht mehr sagen?

Qapla'

[Brunhilde]

Hallo Gunnar

noch Kenntnisse aus DDR-Klasse 11 oder erst während des Studiums?

Lange vorher. Hab damals auch etwas mehr Mathe gemacht: Kreisclub, Bezirksclub. Wie war das? Mathe-Olympiade darf man nicht mehr sagen?

ich würde gerne meine Mathekenntnisse rein aus Interesse wieder auffrischen. Habe nämlich so ziemlich alles vergessen. Hast du einen Tip für mich, wie und wo ich am besten anfange? Eine sehr dumme Frage, ich weiß...

Eure Brunhilde

[Shark]

@@Shark:

nuqneH

immerhin kann ich dir das Ergebnis verraten: 2 * (x-1) * 2^x +2

Wir fassen zusammen:
[latex]\sum_{i=0}^x i \cdot 2^i = (x-1) \cdot 2^{x+1} + 2[/latex]

Zumindest sind alle meine Tests positiv ausgefallen.

Alle meine Tests? Nicht ewig testen, sondern beweisen!

Den Anfang* hast du ja gemacht. Nun machen wir den Schritt*:

Du meinst damit, dass ich es für ein bestimmtes n bereits bewiesen habe, dass die Gleichung gilt?

Es gelte
[latex]\sum_{i=0}^n i \cdot 2^i = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2[/latex]

Das gilt dann, für das von mir ausgerechnete n, richtig?

Zu zeigen: Dann gilt auch
[latex]\sum_{i=0}^{n+1} i \cdot 2^i = n \cdot 2^{n+2} + 2[/latex]

Beweis:
[latex]\sum_{i=0}^{n+1} i \cdot 2^i = \sum_{i=0}^n i \cdot 2^i + (n+1) \cdot 2^{n+1} = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2 + (n+1) \cdot 2^{n+1} = 2n \cdot 2^{n+1} + 2[/latex]

Coole Sache!

Qapla'

Huh? Was?

PS: Das Beweisen ist oft einfacher als das Finden einer Formel.

Danke für deine Hilfe =) damit weiß ich jetzt auf jedenfall die Lösung. Jetzt wüsste ich nur noch zu gerne, wie man denn selbst auf diese Lösung kommt, ohne diese "technischen Hilfsmittel" des Vorposters. Ich meine, diese technischen Hilfsmittel müssen ja auch irgendwie ein Verfahren einprogrammiert bekommen haben, oder?

Bei den mathematischen Rechenregeln für Summen auf Wikipedia bin ich leider nur für den Fall 2^i fündig geworden, nicht aber für i*2^i.

[Jens Holzkämper]

Tach,

Den Anfang* hast du ja gemacht. Nun machen wir den Schritt*:

Du meinst damit, dass ich es für ein bestimmtes n bereits bewiesen habe, dass die Gleichung gilt?

vorrteilhafterweise für das erste Element, sonst funktioniert der Dominoeffekt der Induktion nicht vollständig.

Es gelte
[latex]\sum_{i=0}^n i \cdot 2^i = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2[/latex]

Das gilt dann, für das von mir ausgerechnete n, richtig?

Nein, das ist einfach nur die Annahme, dass es für n gilt, kann man unter dieser Annahme zeigen, dass es für n+1 gilt und hat man einen Anfang, dann hat man es für alle n bewiesen. Man zeigt quasi, dass es für den ersten Dominostein gilt und dass es für jeden Dominostein gilt, der hinter einem Dominostein steht, für den es gilt.

Qapla'

Huh? Was?

http://memory-alpha.org/wiki/Klingon_language

mfg
Woodfighter

[Blaubart]

Tach.

Jetzt wüsste ich nur noch zu gerne, wie man denn selbst auf diese Lösung kommt, ohne diese "technischen Hilfsmittel" des Vorposters.

Ich kann Dir zeigen, wie ich's machen würde. Erstmal für eine beliebige Basis y:

[latex]
f(x,y) = \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^k
= \sum_{k=0}^{x} k \cdot y \cdot y^{k-1}
= y \cdot \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1}
= y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right)
[/latex]

Das war der clevere Teil, der Rest ist Rechnen. Der hintere Term ist die x-te Partialsumme der geometrischen Reihe, deren Lösung für [latex]y \ne 1[/latex] wir als bekannt voraussetzen können.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y^{x+1}-1}{y-1} \right)
[/latex]

Dann die Ableitung ausrechnen.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{(x+1) \cdot y^x - (y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
= \frac{(x+1) \cdot y^{x+1}}{(y-1)^2} - y \cdot \frac{(y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
[/latex]

Um jetzt wieder auf die Ursprungsaufgabe zurückzukommen, y = 2 einsetzen.

[latex]
f(x,2) = (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot (2^{x+1}-1)
= (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Fertig.

[latex]
\sum_{k=0}^{x} k \cdot 2^k = (x-1) \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Und da Gunnar die Korrektheit dieser Lösung schon bewiesen hat, hab ich mich anscheinend auch nicht verrechnet. ;)

[Shark]

Tach.

Jetzt wüsste ich nur noch zu gerne, wie man denn selbst auf diese Lösung kommt, ohne diese "technischen Hilfsmittel" des Vorposters.

Ich kann Dir zeigen, wie ich's machen würde. Erstmal für eine beliebige Basis y:

[latex]
= y \cdot \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1}
= y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right)
[/latex]

Der letzte Schritt ist mir noch nicht ganz klar. Es scheint so, also würdest du das, was in der Summe steht, integrieren und zum "Ausgleich" (also damit sich das Ergebnis des Ausdrucks nicht ändert) einfach die partielle Ableitung nach y davor schreiben. K scheinst du dabei ja als Konstante vorauszusetzen.

Darf man das einfach so machen? Hast du vielleicht nen Link, wo man diese Regel erklärt bekommt?

Das war der clevere Teil, der Rest ist Rechnen. Der hintere Term ist die x-te Partialsumme der geometrischen Reihe, deren Lösung für [latex]y \ne 1[/latex] wir als bekannt voraussetzen können.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y^{x+1}-1}{y-1} \right)
[/latex]

Ja, der Rest ist mir dann Recht klar. Jetzt muss ich allerdings bei Google nachmal nach einem Beweis für die geometrische Reihe suchen ^^''

Dann die Ableitung ausrechnen.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{(x+1) \cdot y^x - (y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
= \frac{(x+1) \cdot y^{x+1}}{(y-1)^2} - y \cdot \frac{(y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
[/latex]

Um jetzt wieder auf die Ursprungsaufgabe zurückzukommen, y = 2 einsetzen.

[latex]
f(x,2) = (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot (2^{x+1}-1)
= (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Fertig.

[latex]
\sum_{k=0}^{x} k \cdot 2^k = (x-1) \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Und da Gunnar die Korrektheit dieser Lösung schon bewiesen hat, hab ich mich anscheinend auch nicht verrechnet. ;)

Nicht zu fassen. Danke vielmals (und natürlich auch an alle anderen, die mir geholfen haben)! Ich hatte die Hoffnung schon aufgegeben, aber du hast mich endgültig gerettet! Super :D
Es ist immer wieder ein tolles Gefühl, wenn man das ganze (zumindest halbwegs) nachvollziehen kann finde ich.

[Blaubart]

Tach.

[latex]y \cdot \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1} = y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right)[/latex]

Der letzte Schritt ist mir noch nicht ganz klar. Es scheint so, also würdest du das, was in der Summe steht, integrieren und zum "Ausgleich" (also damit sich das Ergebnis des Ausdrucks nicht ändert) einfach die partielle Ableitung nach y davor schreiben.

Da gibt's eigentlich nicht viel zu erklären. Das ist bloß die Differentiation einer Summe von Potenzfuntionen -- auch wenn ich diesen einen Schritt in der Notation übersprungen habe. Am einfachsten siehst Du das, wenn Du die Kurzschreibweise mit dem Summenzeichen durch die ausführlichere Schreibweise ersetzt:

[latex]\frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( y^0 + y^1 + y^2 + \dots + y^x \right)[/latex]
[latex]= \frac{\partial}{\partial y} y^0 + \frac{\partial}{\partial y} y^1 + \frac{\partial}{\partial y} y^2 + \dots + \frac{\partial}{\partial y} y^x[/latex] (Was man auch als [latex]\sum_{k=0}^{x} \frac{\partial}{\partial y} y^k[/latex] schreiben könnte.)
[latex]= 0 + 1 + 2y + \dots + xy^{x-1}[/latex]
[latex]= \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1}[/latex]

K scheinst du dabei ja als Konstante vorauszusetzen.

Klar, ist es ja bei der Ableitung nach y auch. Und in der ausführlichen Schreibweise erkennst Du zudem, daß es das k eigentlich gar nicht gibt. Man kann den Ausdruck ja auch ohne das k hinschreiben. Es ist eben nur die Hilfsvariable in der Kurzschreibweise.

Darf man das einfach so machen? Hast du vielleicht nen Link, wo man diese Regel erklärt bekommt?

Du meinst das Differenzieren von Potenzfunktionen und Summen? ;)

[Shark]

Tach.

[latex]y \cdot \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1} = y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right)[/latex]

Der letzte Schritt ist mir noch nicht ganz klar. Es scheint so, also würdest du das, was in der Summe steht, integrieren und zum "Ausgleich" (also damit sich das Ergebnis des Ausdrucks nicht ändert) einfach die partielle Ableitung nach y davor schreiben.

Da gibt's eigentlich nicht viel zu erklären. Das ist bloß die Differentiation einer Summe von Potenzfuntionen -- auch wenn ich diesen einen Schritt in der Notation übersprungen habe. Am einfachsten siehst Du das, wenn Du die Kurzschreibweise mit dem Summenzeichen durch die ausführlichere Schreibweise ersetzt:

[latex]\frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( y^0 + y^1 + y^2 + \dots + y^x \right)[/latex]
[latex]= \frac{\partial}{\partial y} y^0 + \frac{\partial}{\partial y} y^1 + \frac{\partial}{\partial y} y^2 + \dots + \frac{\partial}{\partial y} y^x[/latex] (Was man auch als [latex]\sum_{k=0}^{x} \frac{\partial}{\partial y} y^k[/latex] schreiben könnte.)
[latex]= 0 + 1 + 2y + \dots + xy^{x-1}[/latex]
[latex]= \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1}[/latex]

Ja, das macht es eigentlich sehr gut klar. Ich bin wirklich verwundert, dass soetwas scheinbar einfaches hier weiterhilft. Der Knackpunkt (wie bei den meisten mathematischen Beweisen) scheint hier ja zu sein, dass man "sieht", dass man hier den Term so umwandeln kann, dass man danach eine geometrische Reihe hat. Du hast wohl schon Erfahrung damit oder?

[Blaubart]

Tach.

Der Knackpunkt (wie bei den meisten mathematischen Beweisen) scheint hier ja zu sein, dass man "sieht", dass man hier den Term so umwandeln kann, dass man danach eine geometrische Reihe hat.

Bis auf die Multiplikation mit dem Summenindex stand die ja schon da. Der entscheidende Punkt war eben, diese Multiplikation irgendwie zu eliminieren. Und ja, natürlich hilft es, wenn man bestimmte Muster (hier die Ableitung einer Potenzfunktion und die geometrische Reihe) in solchen Ausdrücken wiedererkennt bzw. so umformen kann, daß sie drin auftauchen.

Du hast wohl schon Erfahrung damit oder?

Mit Mathematik als Werkzeug schon. Mit speziell *solchen* Herleitungen nicht. Aber das ist ja auch nicht nötig, wie man sieht. ;)