Mathe

[Shark]

Tach.

Jetzt wüsste ich nur noch zu gerne, wie man denn selbst auf diese Lösung kommt, ohne diese "technischen Hilfsmittel" des Vorposters.

Ich kann Dir zeigen, wie ich's machen würde. Erstmal für eine beliebige Basis y:

[latex]
= y \cdot \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1}
= y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right)
[/latex]

Der letzte Schritt ist mir noch nicht ganz klar. Es scheint so, also würdest du das, was in der Summe steht, integrieren und zum "Ausgleich" (also damit sich das Ergebnis des Ausdrucks nicht ändert) einfach die partielle Ableitung nach y davor schreiben. K scheinst du dabei ja als Konstante vorauszusetzen.

Darf man das einfach so machen? Hast du vielleicht nen Link, wo man diese Regel erklärt bekommt?

Das war der clevere Teil, der Rest ist Rechnen. Der hintere Term ist die x-te Partialsumme der geometrischen Reihe, deren Lösung für [latex]y \ne 1[/latex] wir als bekannt voraussetzen können.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y^{x+1}-1}{y-1} \right)
[/latex]

Ja, der Rest ist mir dann Recht klar. Jetzt muss ich allerdings bei Google nachmal nach einem Beweis für die geometrische Reihe suchen ^^''

Dann die Ableitung ausrechnen.

[latex]
f(x,y) = y \cdot \frac{(x+1) \cdot y^x - (y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
= \frac{(x+1) \cdot y^{x+1}}{(y-1)^2} - y \cdot \frac{(y^{x+1}-1)}{(y-1)^2}
[/latex]

Um jetzt wieder auf die Ursprungsaufgabe zurückzukommen, y = 2 einsetzen.

[latex]
f(x,2) = (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot (2^{x+1}-1)
= (x+1) \cdot 2^{x+1} - 2 \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Fertig.

[latex]
\sum_{k=0}^{x} k \cdot 2^k = (x-1) \cdot 2^{x+1} + 2
[/latex]

Und da Gunnar die Korrektheit dieser Lösung schon bewiesen hat, hab ich mich anscheinend auch nicht verrechnet. ;)

Nicht zu fassen. Danke vielmals (und natürlich auch an alle anderen, die mir geholfen haben)! Ich hatte die Hoffnung schon aufgegeben, aber du hast mich endgültig gerettet! Super :D
Es ist immer wieder ein tolles Gefühl, wenn man das ganze (zumindest halbwegs) nachvollziehen kann finde ich.