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Matthias Apsel
Der Martin
Gunnar Bittersmann
Matthias Apsel
Matthias Apsel
Matthias Apsel
dedlfix
Moin,
um bei einem Münzwurf die Wahrscheinlichkeit einer Serie zu berechnen, multipliziere ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Mit Serie meine ich, dass man sich vor dem ersten Münzwurf auf Kopf oder Zahl festlegt und dieses Ergebnis dann mehrfach in Folge eintritt. Die Chance, drei mal in Folge Kopf zu erzielen liegt somit bei 50 % * 50 % * 50 % = 12,5 %. So weit richtig?
Meine eigentliche Frage ist, ob dieses Vorgehen, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren, auch auf bestimmte Kartenspiel-Situationen übertragbar ist. Für Leute, die Magic - The Gathering kennen; es geht um die Wahrscheinlichkeit 7 Länder oder 7 Nicht-Länder in der Starthand zu ziehen. Für alle anderen folgende Situations-Beschreibung:
Es gibt einen zufällig gemischten Kartenstapel mit nur zwei verschiedenen Kartenarten. 20 Karten von der einen und 40 Karten von der anderen Sorte. Ich möchte nun berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass die ersten 7 Karten ausschließlich einer (vorher bestimmten) Kartenart angehören.
Um zu berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass ich zu Beginn 7 Länder (die Sorte von der 20 Stück existieren) erhalte, würde ich wie folgt vorgehen:
Dann multipliziere ich die Werte und errechne eine Wahrscheinlichkeit von 0,02 % und d. h. statistisch tritt dieses Ereignis ca. alle 5000 Versuche auf. Ist das korrekt?
Der Martin
Matthias Apsel
dedlfix
Gunnar Bittersmann
Hallo Ein Spieler,
Falls du keinen Rechenfehler gemacht hast, sind die 0.02% richtig. Das „statistische Auftreten“ lässt allerdings nicht den Schluss zu, dass du alle 5000 Spiele 7 Länder bekommst.
Bis demnächst
Matthias
Das „statistische Auftreten“ lässt allerdings nicht den Schluss zu, dass du alle 5000 Spiele 7 Länder bekommst.
Hallo Matthias,
danke für das Feedback. Lässt das „statistische Auftreten“ denn irgendeinen Rückschluss auf eine „Häufigkeit“ zu? Ich möchte diesen Wert für Leute, die nicht Mathe-affin sind (und/auch mich selbst), veranschaulichen und möglichst greifbar machen. Habe ich die „relative Häufigkeit“ beschrieben?
Ich selbst habe schon stark an meinem Vorgehen gezweifelt, denn die Chance eine Starthand ganz ohne Länder zu erhalten, liegt anscheinend bei 4,8 % (und ist somit 240 mal wahrscheinlicher), was meinem Bauchgefühl doch sehr viel erscheint. Ich bin allerdings auch jemand, der Schwierigkeiten hat zu „fühlen“, dass beim Würfeln drei 6er nacheinander keinen Einfluss auf den nächsten Wurf haben ;-)
Um die Größenordnung zu prüfen, sollte es doch reichen, den Mittelwert von ca. 30 %, bzw. ca. 65 % hoch 7 zu rechnen:
(0,30 ^ 7) * 100 = 0,02 %
(0,65 ^ 7) * 100 = 4,90 %.
Scheint zu stimmen, fühlt sich immer noch enorm an. Die Aussage, dass es somit 240 mal wahrscheinlicher ist eine Hand ohne Länder zu bekommen, kann man aber stehen lassen, oder?
Grüße
Hallo,
Das „statistische Auftreten“ lässt allerdings nicht den Schluss zu, dass du alle 5000 Spiele 7 Länder bekommst.
danke für das Feedback. Lässt das „statistische Auftreten“ denn irgendeinen Rückschluss auf eine „Häufigkeit“ zu?
ja, auf die Häufigkeit bei einer sehr großen (unendlich großen) Zahl von Versuchen.
Ich möchte diesen Wert für Leute, die nicht Mathe-affin sind (und/auch mich selbst), veranschaulichen und möglichst greifbar machen. Habe ich die „relative Häufigkeit“ beschrieben?
Den Begriff kenne ich so nicht, und wenn mir jemand von einer relativen Häufigkeit erzählte, wüsste ich damit auch nichts anzufangen. Zugegeben, mein Mathe-LK ist lange her und Statistik war auch nicht so mein Spezialgebiet, aber ich glaube, der Begriff kam nicht vor.
Ich selbst habe schon stark an meinem Vorgehen gezweifelt, denn die Chance eine Starthand ganz ohne Länder zu erhalten, liegt anscheinend bei 4,8 % (und ist somit 240 mal wahrscheinlicher), was meinem Bauchgefühl doch sehr viel erscheint.
Ja, die beiden Werte weichen stark voneinander ab, aber das ist auch zu erwarten, weil ja auch die Wahrscheinlichkeiten für das Einzel-Ereignis (Länderkarte vs. Nicht-Länderkarte) mit 1/3 und 2/3 deutlich voneinander abweichen.
Ich bin allerdings auch jemand, der Schwierigkeiten hat zu „fühlen“, dass beim Würfeln drei 6er nacheinander keinen Einfluss auf den nächsten Wurf haben ;-)
Intuitiv meinen die meisten tatsächlich, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, umso geringer wird, je mehr 6er man vorher schon hatte. Sie verwechseln dabei die Wahrscheinlichkeit des einzelnen Ereignisses (die ist nach wie von 1/6) mit der kombinierten Wahrscheinlichkeit von drei Ereignissen.
Um die Größenordnung zu prüfen, sollte es doch reichen, den Mittelwert von ca. 30 %, bzw. ca. 65 % hoch 7 zu rechnen:
(0,30 ^ 7) * 100 = 0,02 %
(0,65 ^ 7) * 100 = 4,90 %.Scheint zu stimmen, fühlt sich immer noch enorm an. Die Aussage, dass es somit 240 mal wahrscheinlicher ist eine Hand ohne Länder zu bekommen, kann man aber stehen lassen, oder?
Meines Erachtens ja.
So long,
Martin
@@Der Martin
wenn mir jemand von einer relativen Häufigkeit erzählte, wüsste ich damit auch nichts anzufangen.
Angenommen, du würfelst 42 Mal und hast dabei sechs Sechsen. Die relative Häufigkeit ist das Verhältnis von absoluter Häufigkeit (hier 6) zur Anzahl der Versuche: 6/42 = 1/7.
Nach dem Gesetz der großen Zahlen wird bei unendlich vielen Versuchen die relative Häufigkeit gleich der Wahrscheinlichkeit 1/6 sein.
Intuitiv meinen die meisten tatsächlich, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, umso geringer wird, je mehr 6er man vorher schon hatte. Sie verwechseln dabei die Wahrscheinlichkeit des einzelnen Ereignisses (die ist nach wie von 1/6) mit der kombinierten Wahrscheinlichkeit von drei Ereignissen.
Glaub ich nicht. Sie denken eher, der Würfel hätte ein Gedächtnis, d.h. die Ereignisse wären voneinander abhängig. Sind sie natürlich nicht; die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, ist auch dann immer noch 1/6, wenn man vorher schon drei Sechsen in Folge gewürfelt hat.
LLAP 🖖
Tabellenkalk
MudGuardsh:) fo:} ch:? rl:) br:> n4:& va:| de:> zu:} fl:{ ss:| ls:# js:|
Hallo Gunnar,
danke für den Beitrag. Ich verstehe, dass sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändert und finde das auch ganz logisch. Trotzdem müsste ich einem inneren Drang entgegenwirken, wenn jemand grad 99 Sechser am Stück gewürfelt.
Glaub ich nicht. Sie denken eher, der Würfel hätte ein Gedächtnis, d.h. die Ereignisse wären voneinander abhängig.
Zu vermuten, „die meisten“ (wie Martins Vorgabe lautete) würden dem Würfel eine Art Gedächtnis zuschreiben, halte ich für weit hergeholt. Die absolute Unabhängigkeit der Ereignisse zu erkennen, oder zumindest anzuerkennen, scheint als Ursache viel naheliegender. Man hat in den vorherigen Runden Erfahrungswerte gesammelt und was gibt es schon präziseres als die eigene Erfahrung ;-) Dass diese Erfahrungswerte dem Zufall vollkommen egal sind, ist vielen wohl nicht bewusst.
Schönes Wochenende
Hallo,
wenn jemand grad 99 Sechser am Stück gewürfelt.
dann sind die Würfel gezinkt.
Gruß
Kalk
Ja, die beiden Werte weichen stark voneinander ab, aber das ist auch zu erwarten, weil ja auch die Wahrscheinlichkeiten für das Einzel-Ereignis (Länderkarte vs. Nicht-Länderkarte) mit 1/3 und 2/3 deutlich voneinander abweichen.
Hallo Martin,
für den mathematischen Sachverstand war das Ergebnis zu erwarten. Meine persönlichen Erwartungen hat es deutlich übertroffen. Und ich bin noch einer von denen, die versuchen ihre Erwartungen zu hinterfragen und bestenfalls zu korrigieren. Andere spüren nur die Ungerechtigkeit kein Land auf der Hand zu haben und dieses, so unmöglich erscheinende Ereignis auch noch täglich erleben zu müssen - da kann doch etwas nicht stimmen :-)
Intuitiv meinen die meisten tatsächlich, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, umso geringer wird, je mehr 6er man vorher schon hatte. Sie verwechseln dabei die Wahrscheinlichkeit des einzelnen Ereignisses (die ist nach wie von 1/6) mit der kombinierten Wahrscheinlichkeit von drei Ereignissen.
Trotz des Wissens um diesen Umstand ist das Update meiner Intuition dahingehend bislang nicht erfolgreich gewesen. In diesem einfachen Fall kann mein Verstand noch eingreifen, bei den meisten Situationen allerdings bin ich der Intuition hilflos ausgeliefert ;-)
Danke und schönes Wochenende
Hallo Ein Spieler,
Lässt das „statistische Auftreten“ denn irgendeinen Rückschluss auf eine „Häufigkeit“ zu?
Nein. Auch das ist die Wahrscheinlichkeit, nur anders geschrieben:
$$ 0,02% = \tfrac{2}{10000} = \tfrac{1}{5000}$$
Habe ich die „relative Häufigkeit“ beschrieben?
Nein, die relative Häufigkeit beschreibt bei einer bereits durchgeführten Versuchsreihe die Anzahl der Erfolge. Das heißt wenn du wirklich 5000 Spiele begonnen hättest und wirklich 1 mal sieben Länder bekommen hättest, dann wäre die absolute Häufigkeit = 1 und die relative Häufigkeit = 1/5000. Aber du kannst bei 5000 Spielen durchaus auch 5 oder 10 mal sieben Länder bekommen.
Die Wahrscheinlichkeit, 7 Länder zu bekommen beträgt tatsächlich 0.0002. Du hast dich also nicht verrechnet. Die Wahrscheinlichkeiten bei 5000 Spielen genau k mal 7 Länder zu bekommen, sind dann
| k | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 0 | 36,7% |
| 1 | 36,8% |
| 2 | 18,5% |
| 3 | 6,2% |
| 4 | 1,5% |
| 5 | 0,3% |
Um die Größenordnung zu prüfen, sollte es doch reichen, den Mittelwert von ca. 30 %, bzw. ca. 65 % hoch 7 zu rechnen:
Das kann u.U. bös ins Auge gehen.
Scheint zu stimmen, fühlt sich immer noch enorm an. Die Aussage, dass es somit 240 mal wahrscheinlicher ist eine Hand ohne Länder zu bekommen, kann man aber stehen lassen, oder?
Die kann man so stehen lassen.
Bis demnächst
Matthias
Um die Größenordnung zu prüfen, sollte es doch reichen, den Mittelwert von ca. 30 %, bzw. ca. 65 % hoch 7 zu rechnen:
Das kann u.U. bös ins Auge gehen.
Hallo Matthias,
das glaube ich gern, da ich ja eh schon die Macht des Potenzierens unterschätzt hatte. Ich habe extra ein wenig mit den Zahlen rumprobiert, damit es besonders gut passt :-)
Danke für den aufschlussreichen Beitrag, hat mir viel weitergeholfen.
Hallo Ein Spieler,
Danke für den aufschlussreichen Beitrag, hat mir viel weitergeholfen.
Es gibt einen gelben Haken für aufschluss- und hilfreiche Beiträge ;-)
Bis demnächst
Matthias
Die Aussage, dass es somit 240 mal wahrscheinlicher ist eine Hand ohne Länder zu bekommen, kann man aber stehen lassen, oder?
Aber nur grob...
scale=32
( (40/60)*(39/59)*(38/58)*(37/57)*(36/56)*(35/55)*(34/54) ) / ( (20/60)*(19/59)*(18/58)*(17/57)*(16/56)*(15/55)*(14/54) )
240.50000000000000000000000001135902
Würfeln ist einfacher tu berechnen, weil der Pool nicht kleiner wird...
Und zu guter Letzt steht die Frage, ob Du Deine eigenen Karten meinst und alleine spielst oder die Karten eines mit spielenden Gegners. Dann müsstest Du auch Deine eigenen Karten aus dem Pool rausnehmen.
Hallo Mistfinder,
scale=32 ( (40/60)*(39/59)*(38/58)*(37/57)*(36/56)*(35/55)*(34/54) ) / ( (20/60)*(19/59)*(18/58)*(17/57)*(16/56)*(15/55)*(14/54) ) 240.50000000000000000000000001135902
Einspruch:
$$p(„7 Länder“) = \frac{34}{169389}$$
$$p(„0 Länder“) = \frac{8177}{169389}$$
$$\frac {p(„0 Länder“)}{p(„7 Länder“)} = \frac {481}{2} = 240,5$$
Bis demnächst
Matthias
Aber nur grob... 240.50000000000000000000000001135902
Danke für den Hinweis :-)
Und zu guter Letzt steht die Frage, ob Du Deine eigenen Karten meinst und alleine spielst oder die Karten eines mit spielenden Gegners. Dann müsstest Du auch Deine eigenen Karten aus dem Pool rausnehmen.
In dem gedachten Fall gibt es nur einen einzigen Karten-Pool, also passt das schon. Mir ist auch klar, dass ich nur diesen einen Sonderfall von "Serie der ununterbrochen gleichen Kartensorte" auf meine einfache Art erfassen kann, aber nicht zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit 4 Länder unter den ersten 7 Karten zu haben. Vielleicht widme ich mich diesem Schritt als nächstes und stelle dann weitere Fragen.
Jetzt erst mal schönes Wochenende
Hallo Ein Spieler,
Und zu guter Letzt steht die Frage, ob Du Deine eigenen Karten meinst und alleine spielst oder die Karten eines mit spielenden Gegners. Dann müsstest Du auch Deine eigenen Karten aus dem Pool rausnehmen.
In dem gedachten Fall gibt es nur einen einzigen Karten-Pool, also passt das schon.
Nein, wenn du schon viele Länder hast, hat das auch Einfluss auf die Chancen deines Gegners. Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
sind nicht gleich.
Bis demnächst
Matthias
Nein, wenn du schon viele Länder hast, hat das auch Einfluss auf die Chancen deines Gegners. Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
- du kein Land und dein (einziger) Gegner kein Land
- du 7 Länder und dein (einziger) Gegner kein Land
sind nicht gleich.
In meinem eingeschränkten Beispiel waren Gegner und weitere Karten nicht vorgesehen. Zudem sind die Kartenpools bei Magic pro Spieler und voneinander unabhängig, jeder hat seinen eigenen. Dies ist wohl ein Missverständnis, oder?
Hallo Ein Spieler,
Zudem sind die Kartenpools bei Magic pro Spieler und voneinander unabhängig, jeder hat seinen eigenen.
Ah, ich erinnere mich. Dann ist meine Aussage hinfällig.
Bis demnächst
Matthias
Tach!
Das „statistische Auftreten“ lässt allerdings nicht den Schluss zu, dass du alle 5000 Spiele 7 Länder bekommst. danke für das Feedback. Lässt das „statistische Auftreten“ denn irgendeinen Rückschluss auf eine „Häufigkeit“ zu? Ich möchte diesen Wert für Leute, die nicht Mathe-affin sind (und/auch mich selbst), veranschaulichen und möglichst greifbar machen.
Nicht Mathe-affine Leute wollen meistens gern wissen, wie oft sie versuchen müssen, um wenigstens einmal Glück zu haben. Und das kann man ihnen nicht beantworten, die beste Statistik hilft dabei nicht.
Im Durchschnitt ist der See ein Meter tief und trotzdem ist die Kuh ertrunken. Du könntest weitere Kühe in den See schicken. Damit bekommst du jedoch keine Aussage, wann die nächste ertrinkt. Aber mit der Messreihe kannst du aufhören, sobald du ganz nebenbei das Problem mit der Milch-Überproduktion gelöst hast.
Es ist quasi ein ähnliches Prinzip wie beim Passwort-Knacken. "Um das Passwort zu knacken, braucht man 8 Jahre". Falsch, beziehungsweise da fehlt das Wörtchen "höchstens". Die Anzahl der Versuche ist nicht n, mit n gleich der Anzahl der maximal möglichen Varianten, und damit ist auch die Zeit dafür nicht n * t, sondern das sind lediglich Maximalwerte. Im (un)günstigsten Fall ist das Passwort nach einem Versuch geknackt - oder nach 10 oder nach 100 oder nach n/2 oder ....
Nachtrag: Beim Passwort-Berechnen kann man wenigstens ein Ende bestimmen. Beim Zufall kann man nicht mal das. Auch ist da keine Art von Gleichverteilung oder Gewichtung auf bestimmte Werte drin - es sei denn, man hat sowas eingebaut.
dedlfix.
Hi dedlfix,
auf diese unterhaltsame Weise lass ich mir den Sachverhalt gern noch ein paar Mal erklären. Vielleicht setzt sich das Wissen sogar irgendwann ;-)
Nicht Mathe-affine Leute wollen meistens gern wissen, wie oft sie versuchen müssen, um wenigstens einmal Glück zu haben. Und das kann man ihnen nicht beantworten, die beste Statistik hilft dabei nicht.
Das bringt es gut auf den Punkt. Danke.
@@dedlfix
Nicht Mathe-affine Leute wollen meistens gern wissen, wie oft sie versuchen müssen, um wenigstens einmal Glück zu haben. Und das kann man ihnen nicht beantworten, die beste Statistik hilft dabei nicht.
Doch, man kann einen Erwartungswert berechnen.
Es ist quasi ein ähnliches Prinzip wie beim Passwort-Knacken. "Um das Passwort zu knacken, braucht man 8 Jahre". Falsch, beziehungsweise da fehlt das Wörtchen "höchstens".
Wenn 8 Jahre denn der Maximalwert sind. Die 8 Jahre können auch der Erwartungswert sein. Wie würde man das ausdrücken? „… braucht man im Mittel 8 Jahre“?
LLAP 🖖
sh:) fo:} ch:? rl:) br:> n4:& va:| de:> zu:} fl:{ ss:| ls:# js:|
Hallo Gunnar Bittersmann,
Nicht Mathe-affine Leute wollen meistens gern wissen, wie oft sie versuchen müssen, um wenigstens einmal Glück zu haben. Und das kann man ihnen nicht beantworten, die beste Statistik hilft dabei nicht.
Doch, man kann einen Erwartungswert berechnen.
… der aber nicht die Frage „wie oft sie versuchen müssen, um wenigstens einmal Glück zu haben“ beantwortet. Der Erwartungswert ist das durchschnittliche Ergebnis bei unendlichfacher Wiederholung eines Zufallsexperiments. Beim Würfeln mit einem Laplace-Würfel und beobachteter Augenzahl eben 3,5.
Bis demnächst
Matthias
@@Matthias Apsel
Nicht Mathe-affine Leute wollen meistens gern wissen, wie oft sie versuchen müssen, um wenigstens einmal Glück zu haben. Und das kann man ihnen nicht beantworten, die beste Statistik hilft dabei nicht.
Doch, man kann einen Erwartungswert berechnen.
… der aber nicht die Frage „wie oft sie versuchen müssen, um wenigstens einmal Glück zu haben“ beantwortet. Der Erwartungswert ist das durchschnittliche Ergebnis bei unendlichfacher Wiederholung eines Zufallsexperiments. Beim Würfeln mit einem Laplace-Würfel und beobachteter Augenzahl eben 3,5.
Man kann auch einen Erwartungswert dafür angeben, beim wievielten Versuch das erste Mal eine Sechs fällt.
LLAP 🖖
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Hallo Gunnar Bittersmann,
Man kann auch einen Erwartungswert dafür angeben, beim wievielten Versuch das erste Mal eine Sechs fällt.
Nein.
Es lässt sich ausrechnen, wie oft man mindestens Würfeln muss, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln, mindestens p (<1!) ist. (Für p = 1 ergibt sich rechnerisch eine Division durch Null, was sich als unendlich interpretieren lässt) Der Erwartungswert lässt sich nur angeben, wenn die Anzahl der Versuche limitiert ist. Und auch dann liefert der Erwartungswert keine Aussage über den Erfolg.
Man denke etwa an Ärgere-Mensch-Dich-Nicht. Man hat drei Versuche, um mit einer erwürfelten 6 seine erste Figur ins Spiel zu bringen. Wieviele Versuche sind zu erwarten?
Bis demnächst
Matthias
Hi,
Im Durchschnitt ist der See ein Meter tief und trotzdem ist die Kuh ertrunken.
Halte für eine Stunde eine Hand in kochendes Wasser (98°C) und die andere in die Tiefkühltruhe (-18°C), und es wird Deinen Händen nichts passieren, die mittlere Temperatur der Hände ist 40°C.
(-: [1]
cu,
Andreas a/k/a MudGuard
zur Abwechslung mal den Kopf nach rechts kippen ... (-: ↩︎
Hallo,
Halte für eine Stunde eine Hand in kochendes Wasser (98°C) und die andere in die Tiefkühltruhe (-18°C), und es wird Deinen Händen nichts passieren, die mittlere Temperatur der Hände ist 40°C.
schöne Variante des Themas. Ich kannte das bisher so: Der Jäger schießt einmal knapp links, dann einmal knapp rechts vorbei. Im Mittel ist der Hase tot. Und zwar zweimal.
Waidmannsheil,
Martin