Ich erkärs Dir ...

[Der-Dennis]

Hallo Matthias,

dass 2/63 eine Periode ergibt, sagt mein Taschenrechner

da habe ich mich verschrieben. Es sollte „diese Periode“ heißen, nicht „eine Periode“. Ich wollte damit ausdrücken, dass ich das nicht mal eben im Kopf gerechnet habe (weil ich vorher geschrieben hab, wie einfach das zu rechnen ist; 2/63 in Dezimaldarstellung im Kopf auszurechnen macht mir aber keinen Spaß).

Wenn man Dezimalzahlen voraussetzt, gilt:

• Besitzt der Nenner (> 1) eines vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 und 5, so ist seine Dezimalbruchdarstellung endlich.
• Besitzt er nur andere Primfaktoren als 2 und 5, so ist seine Dezimalbruchdarstellung sofortperiodisch.
• Besitzt er beide „Sorten“ von Primfaktoren, so ist seine Dezimalbruchdarstellung spätperiodisch. Die Länge der Vorperiode ist gegeben durch das Maximum der Anzahl der Primfaktoren 2 und 5.

Da erinnere ich mich noch dunkel aus meiner Schulzeit dran. Aber gut, dass Du es hier schreibst. Jetzt habe ich das zumindest in der nächsten Zeit wieder auf dem Schirm :-)

Aber: Ich glaube auch nicht, dass ich sonderlich gut darin wäre, 31500 in seine Primfaktoren zu zerlegen.

Obwohl, wo ich gerade so darüber nachdenke: So schwer kann das eigentlich gar nicht sein, wenn man sich den Ausdruck $$ \frac{2}{63}\times10^{-3} $$ ansieht. $$ \frac{2}{63} $$ ist bereits vollständig gekürzt, bei $$ 63 = 9\times7 $$ sieht man die Primfaktoren 3, 3, 7 schon sehr gut. Und dann „Komma nach rechts verschieben“. Ok, das ist etwas gemogelt.
Hmm, kurz weiter überlegen. Aha! Da die Zehnerpotenzen immer 2 und 5 als Primfaktoren haben und im Zähler eine 2 steht: $$ \frac{\not{2}}{(3\times3\times7)\times(\not{2}\times5\times2\times5\times2\times5)} $$. Die Primfaktoren müssten dann 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 7 sein, oder?

Gruß
Dennis