Mathematik zum Wochenende - Lösung nach Tipp

[Rolf B]

Hallo,

das WE ist rum, ich habe bisher nur Unfug geschrieben, aber nachdem mich Matthias Apsel auf den Begriff "Netz" gestoßen hat, versuche ich mal, zumindest eine schöne Zeichnung abzuliefern...

Geodätische (oder kürzeste) Linien von A nach B auf Körpern, die sich zu ebenen Gebilden aufklappen lassen, erhält man durch geeignetes Aufklappen und dann Zeichnen einer geraden Linie von A nach B. Diese Information habe ich in der Schule entweder nicht erhalten, oder dort liegengelassen, also danke an Matthias für den Tipp.

Blickt man auf die Quaderfläche ABFE und klappt die linke, rechte und obere Seite nach vorn, ergibt sich folgendes Bild. Punkte, die auf dem Quader identisch sind und durch das Aufklappen „getrennt“ wurden, habe ich mit X und X' bezeichnet und durch eine gestrichelte Linie verbunden. Das Netz ist nicht vollständig, die nicht benötigten Flächen habe ich aus Platzgründen weggelassen.

Die erste Frage ist nach $$\overline{AR}$$ auf dem Quader, dem entspricht im Netz $$\overline{AR'}$$. Dafür braucht man $$\overline{ER'}$$. Bekannt sind die Angaben $$\overline{RG}=5$$ und $$\overline{GH}=4$$, damit ist $$\overline{HR}=3$$ nach Pythagoras offensichtlich. Es folgt $$\overline{ER'}=\overline{ER}=1$$ und $$\overline{AR}=\overline{AR'}=\sqrt{26}$$

Die kürzeste Strecke von R nach C, die über die Frontseite führt (und der Quaderzeichnung der Aufgabenstellung entspricht), ist im Netz die Strecke $$RSTC$$. Für die zweite Frage braucht man die Lage des Mittelpunktes von $$ST$$; genauer: seine y-Koordinate, damit man die Höhe des Dreiecks ABP erhält. Die Länge von $$\overline{ER}$$ wurde bereits bestimmt, damit ergibt sich auf dem Netz $$\overline{AR}=6$$ und ein Seitenverhältnis des Dreiecks ACR von 3:4, wegen $$\overline{BC}=4$$ ist demzufolge $$\overline{BT}=3$$ und $$\overline{TF}=2$$. Damit P der Mittelpunkt von ST ist, muss eine Parallele zu SF durch P die Strecke TF ebenfalls halbieren, woraus für die y-Koordinate von P der Wert 4 folgt. Die Fläche von ABP ergibt sich damit zu $$\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4=8$$.

Die Fläche von ABP ist minimal, wenn die Höhe minimal ist, wenn also P mit T zusammenfällt. Nach Pythagoras ist dann $$\overline{AP}=5$$.

Tja, und ich überlegte mir da was zu Wurzelfunktionen mit 2 Variablen, deren Minimum ich finden müsste (hat aber tatsächlich geklappt - nur bei der Hesse-Matrix hatte ich keine Lust mehr).

Klappt man über andere Kanten auf, so dass der Weg über die Kanten HG oder HD im Netz liegt, so sieht man auch schnell, dass auf diesen Wegen $$\overline{RC}=\sqrt{76}$$ oder $$\overline{RC}=\sqrt{80}$$ ist.

Rolf