Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Das Wochenende ist halb vorbei, da hab ich noch eine Aufgabe gefunden:

Quader mit quadratischer Grundfläche ABCD mit Seitenlänge 4 und Höhe AE = 5. R liegt so auf EH, dass GR = 5. Die kürzeste Verbindung von R nach C auf der Oberfläche über die Fläche ABFE schneidet EF in S und BF in T. Punkt P auf der kürzesten Verbindung von R nach C.

1. Wie groß ist die Länge AR?
2. Wenn P Mittelpunkt von ST ist, wie groß ist die Fläche des Dreiecks ABP?
3. Wenn P so gewählt wird, dass die Fläche des Dreiecks ABP minimal ist, wie groß ist die Länge AP?

LLAP 🖖

[MudGuard]

Hi,

Quader mit quadratischer Grundfläche ABCD mit Seitenlänge 4 und Höhe AE = 5. R liegt so auf EH, dass GR = 5.

Die kürzeste Verbindung von R nach C auf der Oberfläche schneidet EF in S und BF in T.

Hm. Spontan hätte ich gesagt, daß die kürzeste Verbindung über einen Punkt X auf HD oder auf HG läuft.

1. Wie groß ist die Länge AR?

Da komme ich mit zweimal Pythagoras (einmal für RH, einmal für AR) auf ein krummes Ergebnis.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Gunnar Bittersmann]

@@MudGuard

Die kürzeste Verbindung von R nach C auf der Oberfläche schneidet EF in S und BF in T.

Hm. Spontan hätte ich gesagt, daß die kürzeste Verbindung über einen Punkt X auf HD oder auf HG läuft.

Du hast vollkommen recht. Kurz nachgerechnet: ersteres.

Ich habe die Aufgabe so geändert, dass die kürzeste Verbindung über die Fläche ABFE gemeint ist, wie in der Zeichnung.

Ich weiß jetzt nicht, ob ich das ungenau übersetzt habe oder ob die Aufgabe schon im Original falsch gestellt war. Der Tweet scheint inzwischen gelöscht zu sein.

1. Wie groß ist die Länge AR?

Da komme ich mit zweimal Pythagoras (einmal für RH, einmal für AR) auf ein krummes Ergebnis.

Es darf durchaus eine nicht krumme algebraische Zahl als Ergebnis dastehen, kein krummer Näherungswert.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo MudGuard,

Hm. Spontan hätte ich gesagt, daß die kürzeste Verbindung über einen Punkt X auf HD oder auf HG läuft.

Sowas ist eine Aufgabe für Excel :D - und auf Grund dessen stimme ich Dir bei: Legt man auf GH einen Punkt Y mit $$\overline{GY}=2{,}5$$, so beträgt $$\overline{RYC} \approx 8{,}944$$. Legt man auf DH einen Punkt X mit $$\overline{DX}=\frac{20}{7}$$, so beträgt $$\overline{RXC} \approx 8{,}602$$. Der kürzeste Weg über die Oberfläche führt also über X.

Um die Aufgabe nicht zu torpedieren, nehmen wir also einfach an, dass der Weg die Vorderfläche auf jeden Fall queren muss (um das Dreieck zu berühren). Dann sind S und T so zu platzieren, dass $$\overline{RSTC}$$ minimal wird. In dem Fall gelingt eine minimale Länge von 10, allerdings habe ich das rein experimentell gefunden. Analytisch müsste ich das Minimum einer Funktion zweier Variablen bestimmen. Das ist zwar MÖGLICH, aber wüst, weil es Wurzelfunktionen sind. Und da das eine Aufgabe von Gunnar ist (und die Punktkoordinaten von S und T erstaunlich „glatt“), bedeutet das, dass es eine Abkürzung geben muss und diese gefragt ist.

Wie groß ist die Länge AR? Da komme ich mit zweimal Pythagoras (einmal für RH, einmal für AR) auf ein krummes Ergebnis.

Dito, und da habe ich auch keine Bauchschmerzen bei. $$\overline{HR}$$ hat einen offensichtlichen Wert, und damit ist $$\overline{AR}$$ trivial.

Rolf

[encoder]

Sowas ist eine Aufgabe für Excel 😂

nööö das ist eine zum nachdenken. Glatt wirds dann auch.

[Rolf B]

Hallo,

das WE ist rum, ich habe bisher nur Unfug geschrieben, aber nachdem mich Matthias Apsel auf den Begriff "Netz" gestoßen hat, versuche ich mal, zumindest eine schöne Zeichnung abzuliefern...

Geodätische (oder kürzeste) Linien von A nach B auf Körpern, die sich zu ebenen Gebilden aufklappen lassen, erhält man durch geeignetes Aufklappen und dann Zeichnen einer geraden Linie von A nach B. Diese Information habe ich in der Schule entweder nicht erhalten, oder dort liegengelassen, also danke an Matthias für den Tipp.

Blickt man auf die Quaderfläche ABFE und klappt die linke, rechte und obere Seite nach vorn, ergibt sich folgendes Bild. Punkte, die auf dem Quader identisch sind und durch das Aufklappen „getrennt“ wurden, habe ich mit X und X' bezeichnet und durch eine gestrichelte Linie verbunden. Das Netz ist nicht vollständig, die nicht benötigten Flächen habe ich aus Platzgründen weggelassen.

Die erste Frage ist nach $$\overline{AR}$$ auf dem Quader, dem entspricht im Netz $$\overline{AR'}$$. Dafür braucht man $$\overline{ER'}$$. Bekannt sind die Angaben $$\overline{RG}=5$$ und $$\overline{GH}=4$$, damit ist $$\overline{HR}=3$$ nach Pythagoras offensichtlich. Es folgt $$\overline{ER'}=\overline{ER}=1$$ und $$\overline{AR}=\overline{AR'}=\sqrt{26}$$

Die kürzeste Strecke von R nach C, die über die Frontseite führt (und der Quaderzeichnung der Aufgabenstellung entspricht), ist im Netz die Strecke $$RSTC$$. Für die zweite Frage braucht man die Lage des Mittelpunktes von $$ST$$; genauer: seine y-Koordinate, damit man die Höhe des Dreiecks ABP erhält. Die Länge von $$\overline{ER}$$ wurde bereits bestimmt, damit ergibt sich auf dem Netz $$\overline{AR}=6$$ und ein Seitenverhältnis des Dreiecks ACR von 3:4, wegen $$\overline{BC}=4$$ ist demzufolge $$\overline{BT}=3$$ und $$\overline{TF}=2$$. Damit P der Mittelpunkt von ST ist, muss eine Parallele zu SF durch P die Strecke TF ebenfalls halbieren, woraus für die y-Koordinate von P der Wert 4 folgt. Die Fläche von ABP ergibt sich damit zu $$\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4=8$$.

Die Fläche von ABP ist minimal, wenn die Höhe minimal ist, wenn also P mit T zusammenfällt. Nach Pythagoras ist dann $$\overline{AP}=5$$.

Tja, und ich überlegte mir da was zu Wurzelfunktionen mit 2 Variablen, deren Minimum ich finden müsste (hat aber tatsächlich geklappt - nur bei der Hesse-Matrix hatte ich keine Lust mehr).

Klappt man über andere Kanten auf, so dass der Weg über die Kanten HG oder HD im Netz liegt, so sieht man auch schnell, dass auf diesen Wegen $$\overline{RC}=\sqrt{76}$$ oder $$\overline{RC}=\sqrt{80}$$ ist.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Ich wollte auch gerade ansetzen, die Lösung zu posten, da kam mir Rolf zuvor. Kann ich mir meine Freihandskizzen ja (größtenteils) sparen, das mit dem Netz hat er ja gut gemacht. Nur

Klappt man über andere Kanten auf, so dass der Weg über die Kanten HG oder HD im Netz liegt, so sieht man auch schnell, dass auf diesen Wegen $$\overline{RC}=\sqrt{76}$$ oder $$\overline{RC}=\sqrt{80}$$ ist.

25 + 49 sind bei mir nicht 76, sondern 74. Gar nicht so einfach, das mit den Grundrechenarten. Schwamm drüber. 😉

$$\overline{AR}=\overline{AR'}=\sqrt{26}$$

1. ✔

Die Fläche von ABP ergibt sich damit zu $$\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4=8$$.

2. ✔

Die Fläche von ABP ist minimal, wenn die Höhe minimal ist, wenn also P mit T zusammenfällt. Nach Pythagoras ist dann $$\overline{AP}=5$$.

3. ❌

Aber nein!

(Nicht, dass das nicht auch mein erster Gedanke gewesen wäre. Und der von einigen anderen hier im Bunde.)

Das wäre richtig, wenn P auf ST liegen soll. Soll er aber nicht. P soll auf dem Streckenzug RSTC liegen.

P darf also durchaus auf TC liegen.

Für alle Punkte P auf TC ist der Winkel PBA ein rechter; BP also Höhe des Dreiecks ABP. Gesucht ist nun der Punkt P, für den BP minimal ist; das ist der Fußpunkt des Lotes von B auf TC.

Wegen Pythagoras und Ähnlichkeit von Dreiecken ist

$$\begin{align} \overline{BP} &= \tfrac{12}{5}
\overline{AP} &= \sqrt{4^2 + \left( \tfrac{12}{5} \right)^2} = \tfrac{4}{5} \sqrt{34} \end{align}$$

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

3. ❌

Aber nein!

(Nicht, dass das nicht auch mein erster Gedanke gewesen wäre. Und der von einigen anderen hier im Bunde.)

Wir (zumindest wohl die meisten hier) sind halt aus dem 20 Jahrhundert. Unsere Denke ist zweidimensional!

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

für zweidimensionales Denken kann man (ohne auf das Forum zu beschränken) bei vielen Leuten ja noch dankbar sein...

Vor allem ging es bei Teil 1 und 2 um die Oberfläche des Quaders, was den Gedanken, das Dreieck auf eine schiefe Ebene durch den Quader hindurch zu legen, verdrängt hat. Wenn ich den Satz „P muss auf RC liegen“ tatsächlich bemerkt hätte, dann hätte mich das vermutlich dazu bewogen, „um die Ecke zu denken“ und ein Dreieck mit 90° Eselsohr zu konstruieren. Dessen minimale Fläche wäre dann bei P=C mit dem Wert 0 erreicht gewesen. Also auch zu simpel gedacht...

Bösartige Aufgabe, das.

Nicht, dass das nicht auch mein erster Gedanke gewesen wäre.

Das beruhigt mich immerhin ein wenig.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Bösartige Aufgabe, das.

Ich hatte unterschlagen zu erwähnen, dass im Original geschrieben stand, dass die Aufgaben von 1 bis 3 immer schwieriger werden.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Bösartige Aufgabe, das.

Ich hatte unterschlagen […]

bösartig, das.

Gruß
Kalk