Mathematik aus Anlass "Artikel des Tages"

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n ist _n_³ - n durch 6 teilbar.

Bis demnächst
Matthias

[w.z.b.w.]

[Beweis gelöscht]

q.e.d.

[Matthias Apsel]

Hallo w.z.b.w.,

Immerhin hast du den Artikel des Tages gelesen 😉

[Beweis gelöscht]

q.e.d.

Perfekt. Versuchs mal ohne Induktion.

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

ach ja, wo findet sich der Artikel des Tages? Ist der irgendwo verlinkt?

Auf der Wiki-Startseite finde ich nichts, im Blog auch nicht, Forums-Home hat's auch nicht …

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Matthias Apsel]

Hallo MudGuard,

ach ja, wo findet sich der Artikel des Tages? Ist der irgendwo verlinkt?

Das ist Teil des Rätsels.

Auf der Wiki-Startseite finde ich nichts,

wiki ist schon warm 😉

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

ach ja, wo findet sich der Artikel des Tages? Ist der irgendwo verlinkt?

Das ist Teil des Rätsels.

Auf der Wiki-Startseite finde ich nichts,

wiki ist schon warm 😉

Ein "Artikel des Tages", der nicht offensichtlich (d.h. für mich: auf der Startseite des Wiki) verlinkt ist, ist m.E. sinnlos - wenn man gar nicht weiß, daß man danach suchen könnte (und selbst dann nichts findet), wird man danach nicht suchen. Und erst recht nicht finden.

Ziel eines "Artikel des Tages" ist doch, Besucher auf den Artikel aufmerksam zu machen - auch wenn der Besucher gar nicht nach diesem Artikel gesucht hat.

Ach ja, eine Hintergrundfarbe sollte für die Wiki-Seiten auch definiert werden.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Matthias Apsel]

Hallo MudGuard,

wiki ist schon warm 😉

Ein "Artikel des Tages", der nicht offensichtlich (d.h. für mich: auf der Startseite des Wiki) verlinkt ist, ist m.E. sinnlos - wenn man gar nicht weiß, daß man danach suchen könnte (und selbst dann nichts findet), wird man danach nicht suchen. Und erst recht nicht finden.

Ist er auch. Weil im konkreten Fall nicht notwendig.

Ziel eines "Artikel des Tages" ist doch, Besucher auf den Artikel aufmerksam zu machen - auch wenn der Besucher gar nicht nach diesem Artikel gesucht hat.

Ja. wiki fängt in diesem Fall nicht mit s an, sondern geht mit p weiter.

Ach ja, eine Hintergrundfarbe sollte für die Wiki-Seiten auch definiert werden.

Warum?

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Der Artikel des Tages vom 14.10.2017 in der Wikipedia war „vollständige Induktion“. Deshalb habe ich eine Aufgabe gesucht, die nach Induktion riecht.

##Zunächst eine einfachere Variante:

Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n ist _n_³ - n durch 3 teilbar.

Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 3 teilbar.

Induktionsvoraussetzung: _n_³ - n durch 3 teilbar.

Induktionsschritt:
(n + 1)³ - (n + 1)
= n_³ + 3_n_² + 3_n + 1 - n - 1
= (_n_³ - n) + 3(_n_² + n)

die erste Klammer ist durch 3 teilbar nach Induktionsvoraussetzung, der zweite Summand enthält den Faktor 3.

##ursprüngliche Aufgabe

Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n ist _n_³ - n durch 6 teilbar.

Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 6 teilbar.

Induktionsvoraussetzung: _n_³ - n durch 6 teilbar.

Induktionsschritt:
(n + 1)³ - (n + 1)
= n_³ + 3_n_² + 3_n + 1 - n - 1
= (_n_³ - n) + 3(_n_² + n)
= (_n_³ - n) + 3 × n × (n + 1)

die erste Klammer ist durch 6 teilbar nach Induktionsvoraussetzung, der zweite Summand enthält den Faktor 3 und eine gerade Zahl, ist damit ebenfalls durch 6 teilbar.

ohne Induktion

Schaut man sich die letze Umformung an, so könnte man in Versuchung kommen, auch ohne Induktion zum Ziel zu kommen. Dies umso mehr, wenn einem die Nebelkerze Artikel des Tages nicht nicht den Blick erschwert.

Es gilt: _n_³ - n = (n - 1) × n × (n + 1). Das sind 3 aufeinander folgende natürliche Zahlen, von denen ist mindestens eine gerade und genau eine durch 3 teilbar. Somit ist dieses Produkt durch 6 teilbar.

Diese Lösung erhielt ich von @herrmann, @Gunnar Bittersmann, @encoder sowie @w.z.b.w. Dabei war @herrmann offenbar der einzige, der mit dem Artikel des Tages was anzufangen wusste.

Eine weitere richtige Lösung kam von @MudGuard, der mit Fallunterscheidungen gearbeitet hat.

Bis demnächst
Matthias

[pl]

hi auch alle,

> Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 3 teilbar.
> Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 6 teilbar.

Eine 0 teilen? Wo nichts ist, gibts auch nichts zu teilen, aber das kann man ja festlegen 😉

Schönen Sonntag!

[Matthias Apsel]

Hallo pl,

> Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 3 teilbar.
> Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 6 teilbar.

Eine 0 teilen? Wo nichts ist, gibts auch nichts zu teilen, aber das kann man ja festlegen 😉

Ja. Wenn Schneewitchen keinen Kuchen backt, und sie und die Zwerge wollen sich den Kuchen gerecht teilen (wobei die Frage nach der Gerechtigkeit eine andere ist) bekommt jeder 0/8 vom Kuchen. Und weil bei der Division durch 8 nichts übrig bleibt, ist null eben durch 8 teilbar. Aus demselben Grund ist null eine gerade Zahl und die einzige ganze Zahl, die unendlich viele Teiler hat, selbst aber keine einzige Zahl teilt.

Bis demnächst
Matthias

[pl]

Aus demselben Grund ist null eine gerade Zahl und die einzige ganze Zahl, die unendlich viele Teiler hat, selbst aber keine einzige Zahl teilt.

Aha. Also 0 = a * 0 und die rechte Seite darf nur nach 0 umgestellt werden, nicht jedoch nach a. Das heißt, daß 0/a = 0 ist weil 0 = a * 0 ist. Aber 0/0 = a ist nicht zulässig obwohl 0 = a * 0 gilt. Das finde ich irgendwie ungerecht 😉

Was soll's.

[JürgenB]

Hallo,

Aha. Also 0 = a * 0 und die rechte Seite darf nur nach 0 umgestellt werden, nicht jedoch nach a. Das heißt, daß 0/a = 0 ist weil 0 = a * 0 ist. Aber 0/0 = a ist nicht zulässig obwohl 0 = a * 0 gilt. Das finde ich irgendwie ungerecht 😉

Was soll's.

es ist schon irgendwie doof, eine Null zu sein.

Gruß
Jürgen

[pl]

es ist schon irgendwie doof, eine Null zu sein.

Dank sozialer Netzwerke aber kein Problem. Zum Teilen genügt ein Klick..

[Matthias Apsel]

Hallo pl,

Aha. Also 0 = a * 0 und die rechte Seite darf nur nach 0 umgestellt werden, nicht jedoch nach a. Das heißt, daß 0/a = 0 ist weil 0 = a * 0 ist. Aber 0/0 = a ist nicht zulässig obwohl 0 = a * 0 gilt. Das finde ich irgendwie ungerecht 😉

Und da hast du auch gleich den Grund mitgeliefert. Weil 0 = a * 0 für ziemlich viele a gilt, hätte 0/0 ziemlich viele Ergebnisse.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@pl

Aha. Also 0 = a * 0 und die rechte Seite darf nur nach 0 umgestellt werden, nicht jedoch nach a. Das heißt, daß 0/a = 0 ist weil 0 = a * 0 ist. Aber 0/0 = a ist nicht zulässig obwohl 0 = a * 0 gilt. Das finde ich irgendwie ungerecht 😉

Der Gerechtigkeit ist damit genüge getan, dass nur nach 0 umgestellt werden darf, wenn a ≠ 0 ist. Ansonsten ist 0/a nicht 0.

Übrigens stellt man nicht die rechte Seite um, sondern beide – oder besser gesagt: die Gleichung.

LLAP 🖖