Mathematik zur Monatsmitte

[ottogal]

Hallo in die Runde,

die Seite, auf der ihr das Problem findet, ist - wen wunderts - die "problematischen Seite"...

Viele Grüße ottogal

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Ich hab noch keine Beweisidee, aber eine Zusatzaufgabe:

Was für spezielle Vierecke müssen das Sehnenviereck ABCD und das Tangentenviereck EFGH sein, damit die Schnittpunkte S und T ihrer Diagonalen mit dem Kreismittelpunkt O zusammenfallen?

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Was für spezielle Vierecke müssen das Sehnenviereck ABCD und das Tangentenviereck EFGH sein, damit die Schnittpunkte S und T ihrer Diagonalen mit dem Kreismittelpunkt O zusammenfallen?

S liegt auf der Diagonalen AC. Wenn S ≡ O, geht AC durch O, ist also Druchmesser des Kreises. Nach Thales sind dann die Winkel ABC und CDA rechte.
Dieselbe Überlegung für die andere Diagonale BD: auch die anderen beiden Innenwinkel des Sehnenvierecks ABCD sind rechte; es ist also ein Rechteck.

Aus OA = OB, OE ≡ OE und ∠OAE = ∠EBO = 1∟ folgt nach SSW die Kongruenz der Dreiecke OAE und EBO. OE ist also die Winkelhalbierende von AEB. Für die anderen Innenwinkel des Tangentenvierecks EFGH entsprechend.
Wenn T ≡ O, teilt die Diagonale EG das Viereck in die nach WSW kongruenten Dreiecke EFG und GHE, d.h. EF = HE und FG = GH.
Dieselbe Überlegung für die andere Diagonale FH führt zu EF = FG und HE = GH. Damit sind alle Seiten des Tangentenvierecks EFGH gleich lang; es ist ein Rhombus.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Ist das Viereck, das sich ergibt, wenn sich alle vier Punkt in der selben Hälfte des Kreises befinden, auch ein Sehnenviereck und wenn ja, wie konstruiert man dann das dazugehörige Tangentenviereck?

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Ist das Viereck, das sich ergibt, wenn sich alle vier Punkt in der selben Hälfte des Kreises befinden, auch ein Sehnenviereck und wenn ja, wie konstruiert man dann das dazugehörige Tangentenviereck?

So wie es GeoGebra tut, wenn du die Punkte auf dem Kreis entsprechend rumschubst:

Das Tangentenviereck ist dann konkav. Mit Schnittpunkt der Diagonalen ist dann der Schnittpunkt der Geraden gemeint, auf denen die Diagonalen liegen. (Bei der im Bild gezeigten Konstellation wäre also FH über F zu verlängern.)

AFAIS darf das Sehnenviereck sogar ein überschlagenes sein, d.h. Reihenfolge auf dem Kreis nicht A, B, C, D, sondern bpsw. B, A, C, D.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Das Tangentenviereck ist dann konkav.

ach Mist, und ich dachte schon, ich hätte zwei sich in der Ebene nicht schneidende Geraden gefunden. Dabei hab ich bloß auf der falschen Seite des Kreises gesucht :(

Gruß
Kalk

[ottogal]

AFAIS darf das Sehnenviereck sogar ein überschlagenes sein, d.h. Reihenfolge auf dem Kreis nicht A, B, C, D, sondern bpsw. B, A, C, D.

Yep, die Aussage gilt auch dann.

[MudGuard]

Hi,

AFAIS darf das Sehnenviereck sogar ein überschlagenes sein, d.h. Reihenfolge auf dem Kreis nicht A, B, C, D, sondern bpsw. B, A, C, D.

Da muß ich aber mECKern:

Das ist dann ein Sehnensechseck, weil's 6 Innenwinkel gibt.

Oder ein Sehnenfünfeck, weil's ja nur fünf verschiedene Eckpunkte gibt.

Wie wär's mit Sehnenvierbissechseck? ;-)

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[ottogal]

Hallo Kalk,

das Sehnenviereck ist natürlich auch dann ein solches - allerdings wird das Tangentenviereck dann nicht mehr konvex (und eine Seite wird evtl. erst in ihrer Fortsetzung zur Geraden den Kreis berühren). Interessant ist jedoch, dass die Aussage (wenn man auch die Diagonalen zu Geraden fortsetzt) trotzdem gültig bleibt.

Aber die Aufgabe war für konvexe Vierecke gemeint - lasst uns daher die Voraussetzung hinzufügen:

Der Kreismittelpunkt O soll im Innern des Sehnenvierecks liegen.

Also dann…

Viele Grüße ottogal

[ottogal]

Gunnar war schneller...

[ottogal]

Hifestellung:

Man begründe zuerst diesen Satz: Winkel im Sehnen- und Tangentenviereck 2

Sodann gilt es, Streckenverhältnisse zu vergleichen. (Es ist schon etwas komplizierter; der Sinus kommt auch vor...)

Auf die Plätze...

Viele Grüße

ottogal

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Hifestellung:

Man begründe zuerst diesen Satz: Winkel im Sehnen- und Tangentenviereck 2

Fall 1: α < β: Das Dreieck AOC ist gleichschenklig, Basiswinkel gleich: ∠CAO = ∠OCA. Tangenten rechtwinklig auf Radien: ∠OAE = ∠FCO.
∠CAE = ∠CAO + ∠OAE = ∠OCA + ∠FCO = ∠FCA = β. Deren Nebenwinkel dann auch gleich: ∠HAC = ∠ACG = α

Fall 2: α > β: Dieselbe Überlegung, nur dass α sich aus Basiswinkel und rechtem Winkel zusammensetzt.

Fall 3: α = β: ∠CAE = ∠FCA = ∠HAC = ∠ACG = 1∟

Dieselbe Betrachtung für B und D (Dreieck BOD).

Sodann gilt es, Streckenverhältnisse zu vergleichen. (Es ist schon etwas komplizierter; der Sinus kommt auch vor...)

Auf die Plätze...

Hab noch keine Idee, wie’s weitergeht.

LLAP 🖖

[ottogal]

Andere Möglichkeit: dies zu beweisen. (Man spart sich Fallunterscheidungen.)

[ottogal]

(damit ihr bei der Stange bleibt...)

Man beweise:

Der Schnittpunkt der Strecken [HF] und [AC] heiße U,

der Schnittpunkt der Strecken [HF] und [BD] heiße V.

Dann gilt folgender Satz:

U und V teilen die Strecke [HF] im gleichen Verhältnis.

[ottogal]

Hallo Mitgrübler,

unter diesem Link findet man die Aufgabe nochmal, aber mit angefügtem Download-Link zu einer PDF-Datei mit meiner Lösung. (Wer also noch weiter grübeln will, braucht ihn ja noch nicht zu benutzen.)

Viele Grüße

ottogal