Mathematik zur Monatsmitte – Lösung der Zusatzaufgabe

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Was für spezielle Vierecke müssen das Sehnenviereck ABCD und das Tangentenviereck EFGH sein, damit die Schnittpunkte S und T ihrer Diagonalen mit dem Kreismittelpunkt O zusammenfallen?

S liegt auf der Diagonalen AC. Wenn S ≡ O, geht AC durch O, ist also Druchmesser des Kreises. Nach Thales sind dann die Winkel ABC und CDA rechte.
Dieselbe Überlegung für die andere Diagonale BD: auch die anderen beiden Innenwinkel des Sehnenvierecks ABCD sind rechte; es ist also ein Rechteck.

Aus OA = OB, OE ≡ OE und ∠OAE = ∠EBO = 1∟ folgt nach SSW die Kongruenz der Dreiecke OAE und EBO. OE ist also die Winkelhalbierende von AEB. Für die anderen Innenwinkel des Tangentenvierecks EFGH entsprechend.
Wenn T ≡ O, teilt die Diagonale EG das Viereck in die nach WSW kongruenten Dreiecke EFG und GHE, d.h. EF = HE und FG = GH.
Dieselbe Überlegung für die andere Diagonale FH führt zu EF = FG und HE = GH. Damit sind alle Seiten des Tangentenvierecks EFGH gleich lang; es ist ein Rhombus.

LLAP 🖖