Mathematik zum Herbstanfang

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Berechne das Volumen des Körpers mit den Eckpunkten A(1|-1|0), B(0|1|-1), C(0|1|1), D(-1|-1|0). (karthesisches Koordinatensystem)

Bis demnächst
Matthias

[encoder]

Leute traut euch, man kanns im Kopf und ohne eine einzige Wurzel. Hätt ich zwar nie erwartet aber isso!

[Matthias Apsel]

Hallo encoder,

Leute traut euch, man kanns im Kopf und ohne eine einzige Wurzel. Hätt ich zwar nie erwartet aber isso!

Deine Lösung ist die dritte, die ich erhalten habe.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

die erste Hürde besteht wohl darin, zu erkennen, dass der Körper ein (unregelmäßiges) Tetraeder ist.

Dann kann man mithilfe des Spatprodukts das Volumen berechnen: ⁴⁄₃. (@Rolf B sprach von „irgendwelchen esoterischen Vektortechniken“)

Eine weitere Möglichkeit: Die x-y-Ebene zerlegt das Tetraeder in zwei kongruente Pyramiden mit der dreieckigen Grundfläche (a = 2; h = 2) und der Höhe 1. V = 2 × ⅓ × ½ × 2 × 2 × 1 = ⁴⁄₃. (Lösung erhalten von @Rolf B und @encoder)

@Gunnar Bittersmann legt ein reguläres Tetraeder in den Koordinatenursprung und streckt dieses um den passenden Faktor in y-Richtung. Clever.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

@Gunnar Bittersmann legt ein reguläres Tetraeder in den Koordinatenursprung und streckt dieses um den passenden Faktor in y-Richtung. Clever.

Und so geht’s: Der Tetraeder ABCD hat die Kantenlängen AD = BC = 2. (AB = AC = DB = DC = √6, spielt aber keine Rolle.)

Anstelle des Volumens von ABCD berechne ich das Volumen eines regulären Tetraeders der Kantenlänge 2; das beträgt ⅔√2.

Ich lege einen regulären Tetraeder EFGH der Kantenlänge 2 so, dass sein Mittelpunkt in O liegt und dass EH ∥ AD und FG ∥ BC. Die Koordinaten seiner Eckpunkte sind:
E(1, −s, 0),
F(0, s, −1),
G(0, s, 1),
H(−1, −s, 0). mit 0 < s < 1.^[1]

Wir berechnen die Kantenlängen^[2]: EF = EG = HF = HG = √(4s² + 2); EH = FG = 2. Nun soll √(4s² + 2) = 2 sein; also s = ½√2.

Um von s auf 1 zu kommen, muss man mit √2 multiplizieren; g.h. um von EFGH zu ABCD zu kommen, muss man um den Faktor √2 in y-Richtung strecken.

Damit vergrößert sich das Volumen um ebendiesen Faktor; das Volumen von ABCD ist also √2 · ⅔√2 = ⁴⁄₃.

LLAP 🖖

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1. Er könnte auch an der xz-Ebene gespiegelt liegen; wir wählen diesen. ↩︎

2. Der Abstand d zweier Punkte errechnet sich aus d² = (x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)² + (z₁ − z₂)². ↩︎