Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

da ich morgen und übermorgen keine Zeit habe, gibt es jetzt schon die Aufgabe:

Untersuche, ob es rechtwinklige Dreiecke mit folgenden Eigenschaften gibt:

• die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen
• die Maßzahl des Umfangs (in LE) ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts (in LE²)

Gib ggf. alle Dreiecke an.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

hab eins...
Aber ob das alle sind?

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

hab eins...
Aber ob das alle sind?

Vor genau der Frage stand ich auch, woraufhin Matthias die Aufgabenstellung erweitert hat. 😜

LLAP 🖖

[encoder]

Ein bisschen würde ich noch suchen.

[Gunnar Bittersmann]

@@encoder

Ein bisschen würde ich noch suchen.

Darf’s ein bisschen mehr sein?

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Darf’s ein bisschen mehr sein?

Möchtest du andeuten, mehr als zwei gefunden zu haben oder dass die Suche so zeitaufwändig ist?

Gruß
Kalk

[Tabellenkalk]

Hallo,

Möchtest du andeuten, mehr als zwei gefunden zu haben oder dass die Suche so zeitaufwändig ist?

wobei ich die gespiegelten nicht zähle. Sonst kommt man wohl auf vier.

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

es gibt sicherlich mehr als 4, aber - vorausgesetzt mein Beweis stimmt - nicht in der euklidischen Ebene. Aus Gründen der Faulheit habe ich mich darauf beschränkt.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

nicht in der euklidischen Ebene.

Stimmt, die hatte ich nicht auf dem Schirm…

Gruß
Kalk

[Tabellenkalk]

Hallo,

Stimmt, die hatte ich nicht auf dem Schirm…

Also muss die erweiterte Frage so lauten: Wieviele Segmente muss ein Schirm haben, damit das Verhältnis von Segmentsdreiecksmaßzahlen zu Schirmbogenkrümmungsradius ein Ganzzahliges ist?

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Darf’s ein bisschen mehr sein?

Möchtest du andeuten, mehr als zwei gefunden zu haben

Nein, das war nur so ’n Spruch.

oder dass die Suche so zeitaufwändig ist?

Oder dass man eine Begründung findet, warum die weitere Suche endlos wäre.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

da ich morgen und übermorgen keine Zeit habe

Das wäre nicht so schlimm gewesen, ich hätte da noch was gehabt. Dann muss die Aufgabe eben warten.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Untersuche, ob es rechtwinklige Dreiecke mit folgenden Eigenschaften gibt:

• die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen
• die Maßzahl des Umfangs (in LE) ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts (in LE²)

Gib ggf. alle Dreiecke an.

Ergänzung:

Gib ggf. alle rechtwinkligen Dreiecke mit folgenden Eigenschaften an:

• die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen in mm
• die Maßzahl des Umfangs in cm ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts in mm² ^
• die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen in mm
• die Maßzahl des Umfangs in mm ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts in cm²

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

nachdem es die Aufgabe ja schon am Donnerstagabend gab, gibt es auch die Lösung ein wenig eher. Die Lösungen kann man durch Probieren finden, spannender die Frage, ob es tatsächlich alle Möglichkeiten sind.

Eine Lösung kam von @MudGuard, Lösungen inklusive Vollständigkeit von @Rolf B und @Gunnar Bittersmann.

---

$$\begin{align} a+b+c &= \frac{ab}{2}
a+b &= \frac{ab}{2} -c
a^2+2ab+b^2 &= \frac{a^2b^2}{4} - abc +c^2 &&|\ a^2+b^2 = c^2
2ab &= \frac{a^2b^2}{4} - abc &&| : ab
2 &= \frac{ab}{4}-c
c &= \frac{ab}{4}-2\

\text{Dies wieder einsetzen:}\

a+b+\frac{ab}{4}-2&=\frac{ab}{2}
\text{und nach }a \text{ umstellen:}
a&=\frac{4b-8}{b-4}
\text{Polynomdivision liefert:}
a&=4+\frac{8}{b-4} \end{align}$$

Damit a eine natürliche Zahl ist, muss gelten:

b - 4	b	a	c
1	5	12	13
2	6	8	10
4	8	6	10
8	12	5	13

Damit gibt es also genau zwei verschiedene Dreiecke, für die das gilt.

Einfacher geht es über die Formeln zur Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel. Für teilerfremde v < u ist

• x = _u_² - _v_²
• y = 2_uv_
• z = _u_² + _v_²

ein pythoräisches Zahlentripel.

$$\begin{align} u^2-v^2+2uv+u^2+v^2 &= \frac{1}{2}(u^2-v^2)\ 2uv
2u^2+2uv &= (u^2-v^2)\ uv
2u (u+v) &= (u^2-v^2)\ uv
2 (u+v) &= (u+v)(u-v)\ v
2 &= (u-v)\ v \end{align}$$

Diese Gleichung ist in ℕ nur lösbar für v = 1 oder v = 2.

v	u	x	y	z
1	3	8	6	10
2	3	5	12	13

Analog erhält man für Umfang in mm und Fläche in cm² die Gleichung

0,2 = (u-v) v

die keine Lösung in ℕ hat, sowie für Umfang in cm und Fläche in mm² die Gleichung

200 = (u-v) v.

v	u-v	u	x	y	z		Umfang	Fläche
1	200	201	40400	402	40402		81204	8120400
2	100	102				u und v nicht teilerfremd
4	50	54				u und v nicht teilerfremd
5	40	45				u und v nicht teilerfremd
8	25	33	1025	528	1153		2706	270600
10	20	30				u und v nicht teilerfremd
20	10	30				u und v nicht teilerfremd
25	8	33	464	1650	1714		3828	382800
50	4	54				u und v nicht teilerfremd
100	2	102				u und v nicht teilerfremd
200	1	201	401	80400	80401		161202	16120200

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Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

nachdem es die Aufgabe ja schon am Donnerstagabend gab, gibt es auch die Lösung ein wenig eher. Die Lösungen kann man durch Probieren finden, spannender die Frage, ob es tatsächlich alle Möglichkeiten sind.

Eine Lösung kam von @MudGuard,

Genau!

Lösungen inklusive Vollständigkeit

wurden erst danach gefordert … nulla poena sine lege praevia …

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[ottogal]

Mein Versuch sah so aus:

Wir formen die Pythagoras-Gleichung um:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=(c-b)(c-b+2b)$$

Wir setzen $$s=c-b$$ und erhalten

$$a^2=s(s+2b)$$ und nach Division durch $$s^2$$:

$$\frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}$$.

Auflösen nach $$b$$ ergibt

$$b=\frac{s}{2} \cdot (\frac{a^2}{s^2}-1)$$.

Damit $$b$$ ganzzahlig wird, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1.: $$s$$ muss gerade sein.

2.: $$\frac{a}{c}$$ muss ganzzahlig sein, etwa $$a=s \cdot t$$ mit ganzzahligem $$t$$.

Mit $$t$$ können wir kurz schreiben:

(1) $$\quad b=\frac{s}{2} \cdot (t^2-1)$$.

Nun kommt die Bedingung ins Spiel, dass der Flächeninhalt und der Umfang des Dreiecks die selbe Maßzahl haben sollen; es soll also gelten:

$$\frac{1}{2} ab = a+b+c$$; mit $$c=b+s$$ wird daraus

$$\frac{1}{2} ab = a+2b+s$$.

Wir dividieren durch $$a$$:

$$\frac{b}{2}=1+2\frac{b}{a}+\frac{s}{a}$$

Wegen (1) ist $$2\frac{b}{a}=\frac{s}{a}(t^2-1)$$; dies eingesetzt folgt mit $$\frac{s}{a}=\frac{1}{t}$$:

$$\frac{b}{2}=1+\frac{1}{t}(t^2-1)+\frac{1}{t}$$

und man erhält schließlich

(2) $$\quad b=2(t+1)$$

Weiter folgt aus (1):

$$s=\frac{2b}{t^2-1}$$, und mit (2) daraus

$$s=\frac{4(t+1)}{t^2-1}=\frac{4(t+1)}{(t+1)(t-1)}=\frac{4}{t-1}$$.

Nun bekommen wir

$$a=s \cdot t=4 \cdot \frac{t}{t-1}= 4 \cdot \frac{t-1+1}{t-1}$$

also

(3) $$\quad a=4+\frac{4}{t-1}$$

$$a$$ ist nur ganzzahlig, wenn $$\frac{4}{t-1}$$ ganzzahlig ist. $$t-1$$ muss also Teiler von $$4$$ sein, kann also nur $$1$$, $$2$$ oder $$4$$ sein.
Also ist $$t=2$$, $$t=3$$ oder $$t=5$$.

Somit erhält man nur die Tripel $$(8,6,10)$$, $$(6,8,10)$$ und $$(5,12,13)$$. Zählt man den Fall mit vertauschten Katheten nicht mit, gibt es nur 2 derartige Dreiecke.

[ottogal]

Typo:

2.: $$\frac{a}{c}$$ muss ganzzahlig sein

sollte natürlich heißen
2.: $$\frac{a}{s}$$ muss ganzzahlig sein

Mit weniger Ablenkung durch Glühwein etc. sah ich, dass mein Weg von

$$\frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}$$ zu $$b=2(t+1)$$ doch sehr umwegig war.

Hier eine revidierte Fassung:

Wir formen die Pythagoras-Gleichung um:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=(c-b)(c-b+2b)$$

Wir setzen $$s=c-b$$ und erhalten

$$a^2=s(s+2b)$$ und nach Division durch $$s^2$$:

$$\frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}$$.

Wir setzen zur Abkürzung

$$\frac{a}{s}=t$$.

Somit gilt $$t^2=1+\frac{2b}{s}$$, also

(1) $$\quad \frac{2b}{s}=t^2-1$$.

Die Bedingung, dass der Flächeninhalt und der Umfang des Dreiecks die selbe Maßzahl haben sollen, lautet:

$$\frac{1}{2} ab = a+b+c$$. Mit $$c=b+s$$ wird daraus

$$\frac{1}{2} ab = a+2b+s$$.

Wir dividieren durch $$s$$:

$$\frac{b}{2} \cdot \frac{a}{s}=\frac{a}{s}+\frac{2b}{s}+1$$.

Einsetzen von $$t$$ für $$\frac{a}{s}$$ und von $$t^2-1$$ für $$\frac{2b}{s}$$ ergibt

$$\frac{b}{2} \cdot t=t+t^2-1+1$$, somit

$$\frac{b}{2} \cdot t=t(1+t)$$.

Nach Multiplikation mit $$\frac{2}{t}$$ haben wir schließlich

(2) $$\quad b=2(t+1)$$.

Da $$b$$ ganzzahlig sein soll, muss auch $$t$$ ganzzahlig sein.

Weiter folgt aus (1):

$$s=\frac{2b}{t^2-1}$$, und mit (2) daraus

$$s=\frac{4(t+1)}{t^2-1}=\frac{4(t+1)}{(t+1)(t-1)}$$;

Nach Kürzen des Faktors $$(t+1)$$ erhält man

$$s=\frac{4}{t-1}$$.

Wegen $$a=s \cdot t$$ bekommen wir

$$a=\frac{4t}{t-1}=4 \cdot \frac{t}{t-1}= 4 \cdot \frac{t-1+1}{t-1}=4+\frac{4}{t-1}$$.

$$a$$ ist nur ganzzahlig, wenn $$\frac{4}{t-1}$$ ganzzahlig ist. $$t-1$$ muss also Teiler von $$4$$ sein, kann also nur $$1$$, $$2$$ oder $$4$$ sein.
Also ist $$t=2$$, $$t=3$$ oder $$t=5$$.

Somit erhält man nur die Tripel $$(8,6,10)$$, $$(6,8,10)$$ und $$(5,12,13)$$. Zählt man den Fall mit vertauschten Katheten nicht mit, gibt es nur 2 derartige Dreiecke.