Ellipsen überfordern mich - bitte um Hilfe

[Rolf B]

Hallo Felix,

ich habe auch mal ein bisschen gesucht - und irgendwer schrieb, man müsse dafür Gleichungen vierten Grades lösen. Ich fürchte, sie oder er hat recht...

Wenn ich ein Hüllrechteck (left,top,right,bottom) für eine Ellipse habe, kann ich daraus die Breite und Höhe berechnen und den Mittelpunkt. Die halbe Breite ist die X-Halbachse, die halbe Höhe ist die Y-Halbachse, der Mittelpunkt $$(x_0, y_0)$$ errechnet sich aus den entsprechenden Mittelwerten der Rechteck-Koordinaten.

Damit kann ich eine Ellipse $$E_i$$ mit Mittelpunkt $$(x_i, y_i)$$, horizontaler Halbachsenlänge $$a_i$$ und vertikaler Halbachsenlänge $$b_i$$ durch die Ellipsengleichung für kartesiche Koordinaten beschreiben:

$$\quad \quad \quad \frac{(x-x_i)^2}{a_i^2}+\frac{(y-y_i)^2}{b_i^2}=1$$

Das kann man auflösen nach y, und ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet:

$$\quad \quad \quad y = y_i \pm b_0\sqrt{1-\frac{1}{a_i^2}(x-x_i)^2}$$

So. Wenn ich jetzt für zwei Ellipsen $$E_i,E_j$$ wissen will, ob sie sich schneiden, muss ich das gleichsetzen und die Wurzelgleichung lösen. Dann bekomme ich null bis zwei X-Werte heraus, und zu denen gehören jeweils 2 Y-Werte. Ich brauche die aber nur insoweit, dass ich eine Probe machen muss, ob meine beim Lösen der Wurzelgleichung gefundenen X-Werte stimmen (da gibt's ja diese Werteinflation beim Quadrieren).

Die Rechnung kostet sicherlich etwas Zeit, daher ist es effizient, wenn ich vorher die Hüllrechtecke auf Überschneidung prüfe. Wenn ich in X- und Y-Richtung eine Überlappung von mehr als 50% habe, dann müssten sich die Ellipsen definitiv schneiden. Möglicherweise kann man diese Quote noch feintunen. Habe ich gar keine Überlappung, schneiden sich die Ellipsen definitiv nicht. Dazwischen muss man die Wurzelgleichung lösen. Das habe ich noch nicht durchgezogen, aber es scheint, ich müsste drei mal quadrieren und dann wäre ich bei einem Polynom sechsten Grades. Autsch, ich mach wohl noch was falsch. Es geht dann aber im Zweifel per Newton zu interpolieren.

Ist das ein Ansatz?

Rolf