Aloha ;)
Den Zweifel mit hochkant und waagrecht habe ich gestreut, als ich dir die Formel gegeben habe, also ist es wohl auch an mir, das wieder auszumerzen 😂
Ist es mit der ersteren Formel eigentlich egal, ob die Ellipse hochkant oder waagrecht ist? Und wenn ja, warum?
Wikipedia kennt die Herleitung der Gleichung für den vereinfachten Fall, dass M bei (0|0) liegt.
Da unsere beliebig im Raum liegende Ellipse lediglich um die Koordinaten von M verschoben ist, genügt es, den dortigen Fall zu betrachten - wenn die Gleichung sowohl für die waagrechte als auch für die hochkante Ellipse im Ursprung gilt, dann gilt sie auch sowohl für die waagrechte als auch für die hochkante verschobene Ellipse.
Für die im Ursprung liegende waagrechte Ellipse (Brennpunkte auf der x-Achse) gilt:
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Wenn wir nun eine hochkante Ellipse betrachten wollen, können wir eine Koordinatentransformation vornehmen: $$ \tilde{x} = y $$ und $$ \tilde{y} = x $$. Unsere Ellipse, die im Koordinatensystem aus x,y waagrecht war, ist nun im transformierten Koordinatensystem eine hochkante (Brennpunkte auf der $$\tilde{y}$$-Achse).
Unsere Gleichung, die ja für die waagrechte Ellipse gilt, gilt dann natürlich auch in transformierten Koordinaten für eine dort hochkante Ellipse:
$$\frac{\tilde{y}^2}{a^2} + \frac{\tilde{x}^2}{b^2} = 1 $$
Es gilt für hochkante Ellipsen also dieselbe Gleichung wie oben, mit dem einen Unterschied, dass a und b vertauscht sind.
Was passiert nun, wenn wir eine hochkante Ellipse vorliegen haben, die aber "fälschlicherweise" mit den Bezeichnungen einer waagrechten Ellipse versehen - d.h. wir lesen a an der x-Achse und b an der y-Achse ab, obwohl bei einer hochkanten Ellipse eigentlich a parallel zur y-Achse und b parallel zur y-Achse liegt.
Dann haben wir doch a und b vertauscht.
Und wenn wir jetzt auch noch "fälschlicherweise" die Gleichung für waagrechte Ellipsen anwenden - mit vertauschten a und b - dann wenden wir damit implizit die gültige, korrekte Formel für hochkante Ellipsen an, da diese sich ja von der für waagrechte Ellipsen nur durch Vertauschung von a und b unterscheidet.
Dadurch verwenden wir trotz der "falschen" Beschreibung nachher wieder eine gültige Gleichung.
Somit ist die Gleichung, wenn wir 2a generell als Breite in x-Richtung und 2b generell als Breite in y-Richtung auffassen, sowohl für waagrechte als auch für hochkante Ellipsen korrekt und anwendbar.
Und da die Gleichung für die Ellipsen im Ursprung sowohl hochkant als auch waagrecht gültig ist, ist es natürlich auch die um M verschobene Gleichung
$$\frac{(x - x_m)^2}{a^2} + \frac{(y-y_m)^2}{b^2} = 1 $$
Grüße,
RIDER
--
Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller
#
Twitter #
Steam #
YouTube #
Self-Wiki #
Selfcode: sh:) fo:) ch:| rl:) br:^ n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:} fl:( ss:) ls:[