Mathematik zum Wochenende – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Und jetzt, wo der Bleistift grad schön warm ist, stelle man bitte noch fest, wie weit man den Exponenten der größeren der beiden Zahlen absenken kann, damit die Potenz immer noch die größere ist. Habe selbst noch keinen eleganten Weg dafür (außer Excel...) und werde auch bis Sonntag offline sein...

Ein Weg dafür ergibt sich aus einer anderen Möglichkeit zu entscheiden, welche der Zahlen die größere ist:

Es waren nur elektronische Hilfsmittel ausgeschlossen. Die Älteren werden sich erinnern, dass man vor dem Aufkommen des Taschenrechners auch schon rechnen konnte. (Diese Fähigkeit scheint heute vielen abhanden gekommen zu sein.)

Wohl dem, der noch

1. im Besitz eines Tafelwerks ist
2. dieses wiederfindet und
3. noch damit umgehen kann.

Da die Logarithmus-Funktion streng monoton wachsend ist, können wir statt der Zahlen auch ihre Logarithmen vergleichen:

lg 2⁸⁴⁵ = 845 · lg 2
lg 5³⁶² = 362 · lg 5

Die Logarithmen schlagen wir im Tafelwerk nach:

lg 2 ≈ 0.3010
lg 5 ≈ 0.6990

Schriftliche Mutliplikation kriegen wir auch noch hin?

lg 2⁸⁴⁵ = 845 · lg 2 ≈ 845 · 0.3010 = 254.345
lg 5³⁶² = 362 · lg 5 ≈ 362 · 0.6990 = 253.038

Da lg 2⁸⁴⁵ > lg 5³⁶², ist 2⁸⁴⁵ > 5³⁶².

Statt des Zehnerlogarithmus hätten wir natürlich auch den natürlichen nehmen können.

Statt des Tafelwerks können wir auch den Rechenstab zuhilfenehmen. Wohl dem, der noch

1. im Besitz eines solchen ist
2. diesen wiederfindet und
3. noch damit umgehen kann.

Damit kann man sowohl die Logarithmen bestimmen als auch multiplizieren. Man muss allerdings die Zunge schon sehr genau schieben und sehr genau ablesen, um bei 3 Stellen Genauigkeit 254 bzw. 253 herauszubekommen.

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Um herauszufinden, um wieviel man den Exponenten der größeren Zahl, also der Zweierpotenz, verringern kann, sodass sie immer noch die größere ist, müssen wir wissen, wievielmal sie größer ist als die Fünferpotenz. Wir brauchen also das Verhältnis q = 2⁸⁴⁵/5³⁶².

Auch das über den Logarithmus:

lg (2⁸⁴⁵/5³⁶²) = lg 2⁸⁴⁵ − lg 5³⁶² ≈ 254.345 − 253.038 = 1.307

$$q = 10^{\lg q} ≈ 10^{1.307} = 10 · 10^{0.307}$$

$$10^{0.307}$$ entnehmen wir wieder dem Tafelwerk: ≈ 2.03; also q ≈ 20.3.^[1]

Da q zwischen 2⁴ = 16 und 2⁵ = 32 liegt, kann man den Exponenten der Zweierpotenz um 4 verringern; 2⁸⁴¹ ist immer noch größer als 5³⁶².

LLAP 🖖

PS: Die nächste Zusatzaufgabe, um wieviel man den Exponenten der Fünferpotenz erhöhen könnte, sodass sie immer noch kleiner ist als die Zweierpotenz, sollte sich damit auch leicht beantworten lassen.

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1. Wenn man mit dem Taschenrechner mit größerer Genauigkeit rechnet, kommt man auf lg q = 1.343204766425303 und q = 22.039653704173761. ↩︎