Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Da Geometrie nun eine eigene Kategorie ist 😉, hier noch eine kleine Mathe-Aufgabe:

Welche Zahl ist größer, 2⁸⁴⁵ oder 5³⁶²?

Selbstverständlich zu lösen ohne elektronische Hilfsmittel.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Urgh. Das kann ich nur mit Zoomen lesen.

#2⁸⁴⁵ oder 5³⁶² - $$2^{845}$$ oder $$5^{362}$$

Naja. Etwas besser...

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Urgh. Das kann ich nur mit Zoomen lesen.

Ein deutliches Zeichen, dass die Schrift im Forumstylesheet zu klein eingestellt ist.

Ich bin mir bewusst, dass ich da noch ein <I> offen habe.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Gute Idee. Ich habe mir darum mal ein # spendiert.

Rolf

[Mitleser]

Urgh. Das kann ich nur mit Zoomen lesen. Ein deutliches Zeichen, dass die Schrift im Forumstylesheet zu klein eingestellt ist.

Wenn ich soweit zoome, bis ich die hochgestellten Ziffern angenehm lesen kann, ist mir der restliche Fließtext bereits viel zu groß und unangenehm zu lesen.

[ottogal]

Da Geometrie nun eine eigene Kategorie ist 😉, hier noch eine kleine Mathe-Aufgabe:

... aus der Kategorie Zahlentheorie. 😉

Welche Zahl ist größer, 2⁸⁴⁵ oder 5³⁶²?

Ich passe.

[Rolf B]

Hallo ottogal,

aus der Kategorie Bruchrechnen, und ein paar Potenzregeln! Wie eigentlich immer hier eine Aufgabe für die kreativen Köpfe der Mittelstufe.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

aus der Kategorie Bruchrechnen, und ein paar Potenzregeln!

Bruchrechnen braucht man hier gar nicht, wenn man tatsächlich linke und rechte Seite vergleicht und nicht den Quotienten bildet und mit 1 vergleicht.

Wie eigentlich immer hier eine Aufgabe für die kreativen Köpfe der Mittelstufe.

So isses.

Den Oberstuflern könnte noch eine andere Lösungsvariante einfallen, welche aber längst nicht so elegant ist wie die aus der Mittelstufe.

LLAP 🖖

[Camping_RIDER]

Aloha ;)

aus der Kategorie Bruchrechnen, und ein paar Potenzregeln! Wie eigentlich immer hier eine Aufgabe für die kreativen Köpfe der Mittelstufe.

Du hast vermutlich eine altersbedingt verzerrte Vorstellung von der mathematischen Leistungsfähigkeit eines Mittelstufenschülers. Die hab ja sogar ich, wie ich immer wieder feststelle.

Grüße,

RIDER

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

die Zahlen sind zu klein, Excel kann das ja direkt rechnen!

Aber okay, so schwer war das ja auch mit dem Bleistift nicht (wenn man Acht gibt!).

Und jetzt, wo der Bleistift grad schön warm ist, stelle man bitte noch fest, wie weit man den Exponenten der größeren der beiden Zahlen absenken kann, damit die Potenz immer noch die größere ist. Habe selbst noch keinen eleganten Weg dafür (außer Excel...) und werde auch bis Sonntag offline sein...

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Und jetzt, wo der Bleistift grad schön warm ist, stelle man bitte noch fest, wie weit man den Exponenten der größeren der beiden Zahlen absenken kann, damit die Potenz immer noch die größere ist. Habe selbst noch keinen eleganten Weg dafür (außer Excel...) und werde auch bis Sonntag offline sein...

Ein Weg dafür ergibt sich aus einer anderen Möglichkeit zu entscheiden, welche der Zahlen die größere ist:

Es waren nur elektronische Hilfsmittel ausgeschlossen. Die Älteren werden sich erinnern, dass man vor dem Aufkommen des Taschenrechners auch schon rechnen konnte. (Diese Fähigkeit scheint heute vielen abhanden gekommen zu sein.)

Wohl dem, der noch

1. im Besitz eines Tafelwerks ist
2. dieses wiederfindet und
3. noch damit umgehen kann.

Da die Logarithmus-Funktion streng monoton wachsend ist, können wir statt der Zahlen auch ihre Logarithmen vergleichen:

lg 2⁸⁴⁵ = 845 · lg 2
lg 5³⁶² = 362 · lg 5

Die Logarithmen schlagen wir im Tafelwerk nach:

lg 2 ≈ 0.3010
lg 5 ≈ 0.6990

Schriftliche Mutliplikation kriegen wir auch noch hin?

lg 2⁸⁴⁵ = 845 · lg 2 ≈ 845 · 0.3010 = 254.345
lg 5³⁶² = 362 · lg 5 ≈ 362 · 0.6990 = 253.038

Da lg 2⁸⁴⁵ > lg 5³⁶², ist 2⁸⁴⁵ > 5³⁶².

Statt des Zehnerlogarithmus hätten wir natürlich auch den natürlichen nehmen können.

Statt des Tafelwerks können wir auch den Rechenstab zuhilfenehmen. Wohl dem, der noch

1. im Besitz eines solchen ist
2. diesen wiederfindet und
3. noch damit umgehen kann.

Damit kann man sowohl die Logarithmen bestimmen als auch multiplizieren. Man muss allerdings die Zunge schon sehr genau schieben und sehr genau ablesen, um bei 3 Stellen Genauigkeit 254 bzw. 253 herauszubekommen.

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Um herauszufinden, um wieviel man den Exponenten der größeren Zahl, also der Zweierpotenz, verringern kann, sodass sie immer noch die größere ist, müssen wir wissen, wievielmal sie größer ist als die Fünferpotenz. Wir brauchen also das Verhältnis q = 2⁸⁴⁵/5³⁶².

Auch das über den Logarithmus:

lg (2⁸⁴⁵/5³⁶²) = lg 2⁸⁴⁵ − lg 5³⁶² ≈ 254.345 − 253.038 = 1.307

$$q = 10^{\lg q} ≈ 10^{1.307} = 10 · 10^{0.307}$$

$$10^{0.307}$$ entnehmen wir wieder dem Tafelwerk: ≈ 2.03; also q ≈ 20.3.^[1]

Da q zwischen 2⁴ = 16 und 2⁵ = 32 liegt, kann man den Exponenten der Zweierpotenz um 4 verringern; 2⁸⁴¹ ist immer noch größer als 5³⁶².

LLAP 🖖

PS: Die nächste Zusatzaufgabe, um wieviel man den Exponenten der Fünferpotenz erhöhen könnte, sodass sie immer noch kleiner ist als die Zweierpotenz, sollte sich damit auch leicht beantworten lassen.

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1. Wenn man mit dem Taschenrechner mit größerer Genauigkeit rechnet, kommt man auf lg q = 1.343204766425303 und q = 22.039653704173761. ↩︎

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Welche Zahl ist größer, 2⁸⁴⁵ oder 5³⁶²?

Die Kurzfassung:

$$\begin{align} 2^7 = 128 &> 5^3 = 125
\left(2^7\right)^{120} = 2^{840} &> \left(5^3\right)^{120} = 5^{360}\
2^5 = 32 &> 5^2 = 25
2^{840} \cdot 2^5 = 2^{845} &> 5^{360} \cdot 5^2 = 5^{362} \end{align}$$

Die Langfassung mit den Gedanken zum Lösungsweg gibt’s bei Mike Lawler zu sehen.

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Eine andere Möglichkeit, zur Lösung zu kommen, folgt an anderer Stelle.

LLAP 🖖