Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

das Dreieck ABC ist in drei flächengleiche Teile zerlegt. Die Streckenabschnitte auf der Seite AB verhalten sich wie 3:2:1.

Skizze nicht maßstäblich

Man bestimme das Verhältnis der Streckenabschnitte auf der Seite AC.

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

das Dreieck ABC

ist ein beliebiges Dreieck?

Skizze nicht maßstäblich

Ach so - ich wollte schon sagen: offensichtlich ist die Lösung 4:1:2 😉

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Matthias Apsel]

Hallo MudGuard,

das Dreieck ABC

ist ein beliebiges Dreieck?

Ja.

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

das Dreieck ABC

ist ein beliebiges Dreieck?

die Winkel müssten eindeutig bestimmbar sein, wenn man zusätzlich fordert, dass die beiden inneren Strecken jeweils einen rechten Winkel bilden...
Zusatzaufgabe?

Gruß
Kalk

[Der Martin]

Hallo,

das Dreieck ABC

ist ein beliebiges Dreieck?

die Winkel müssten eindeutig bestimmbar sein, wenn man zusätzlich fordert, dass die beiden inneren Strecken jeweils einen rechten Winkel bilden...

einen rechten Winkel womit? Mit der Dreiecksseite AC?
Dann wären die beiden Linien parallel und die Aufgabe nicht lösbar.

Oder hast du etwas anderes gemeint?

Live long and pros healthy,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

einen rechten Winkel womit? Mit der Dreiecksseite AC?
Dann wären die beiden Linien parallel und die Aufgabe nicht lösbar.

Oder hast du etwas anderes gemeint?

Die eine mit AB, die andere mit AC.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@MudGuard

ist ein beliebiges Dreieck?

Cavalieri als 2D-Wesen.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

die drei gleichen Flächen entstehen auch, wenn man drei Dreiecke mit demselben Winkel α übereinanderlegt, deren Flächen sich wie 1:2:3 verhalten. Nun ist der Flächeninhalt eines Dreiecks proportional zum Produkt zweier Seiten.

Größe	Verhältnis
A	1 : 2 : 3
a	3 : 5 : 6

Wir normieren mit dem kgV(3,5,6) = 30 und ermitteln b als A/a

Größe	Verhältnis
A	30 : 60 : 90
a	3 : 5 : 6
b	10 : 12 : 15

Damit verhalten sich die Seitenabschnitte wie 10:2:3.

Richtige Lösungen gab es von @Gunnar Bittersmann, @Tabellenkalk, @Der Martin, @Rolf B und @ottogal.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

Nun ist der Flächeninhalt eines Dreiecks proportional zum Produkt zweier Seiten.

uff. Auf diese primitive Argumentation wäre ich nicht gekommen. Es stimmt ja offensichtlich, aber trotzdem musste ich erstmal schlucken als ich das las 😂

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Nun ist der Flächeninhalt eines Dreiecks proportional zum Produkt zweier Seiten.

uff. Auf diese primitive Argumentation wäre ich nicht gekommen. Es stimmt ja offensichtlich, aber trotzdem musste ich erstmal schlucken als ich das las 😂

Und der eingeschlossene Winkel muss natürlich derselbe sein.

Bis demnächst
Matthias

[ottogal]

Nun ist der Flächeninhalt eines Dreiecks proportional zum Produkt zweier Seiten.

uff. Auf diese primitive Argumentation wäre ich nicht gekommen. Es stimmt ja offensichtlich, aber trotzdem musste ich erstmal schlucken als ich das las 😂

Und der eingeschlossene Winkel muss natürlich derselbe sein.

Matthias' Lösung ist freilich nur deshalb so knackig kurz, weil er die entscheidende Aussage ("Nun ist ... proportional ...") nicht aufzeigt.

Man kann die Flächenformel
$$\mathcal A = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$$
heranziehen (im $$\triangle ABC$$ mit Standardbezeichnungen):

Da $$\alpha$$ fest ist, ist $$\frac{1}{2} \sin \alpha$$ konstant, also sind $$\mathcal A$$ und $$bc$$ proportional.

Will man elementargeometrisch bleiben und ohne den $$\sin$$ auskommen, argumentiert man so:
Hält man $$c$$ fest, ist auch $$h_b$$ konstant; $$\mathcal A = \frac{1}{2}bh_b$$ bedeutet dann $$\mathcal A$$ ist proportional zu $$b$$.
Entsprechend ist bei festem $$b$$ auch $$h_c$$ konstant und daher dann $$\mathcal A$$ proportional zu $$c$$.
Folglich sind $$\mathcal A$$ und $$bc$$ proportional, wenn man beide Seitenlängen variiert.

[Rolf B]

Hallo ottogal,

deswegen schrieb ich ja

trotzdem musste ich erstmal schlucken

Während der Schluckbewegung gingen mir genau diese Überlegungen durch den Kopf. Mit sin habe ich mich nicht aufgehalten; dass eine Höhe proportional zu der Länge der Seite ist, die auf ihren "oberen" Endpunkt zu führt, ist nach Strahlensatz klar.

Und dann war's offensichtlich. Aber ich wär auf den Schritt nicht gekommen.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Richtige Lösungen gab es von @Gunnar Bittersmann, @Tabellenkalk, @Der Martin, @Rolf B und @ottogal.

@Matthias Apsel hat als Einziger eine Lösung zur Zusatzaufgabe bei mir abgegeben. Magst du sie hier auch vorstellen?

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

@Matthias Apsel hat als Einziger eine Lösung zur Zusatzaufgabe bei mir abgegeben. Magst du sie hier auch vorstellen?

Wenn du mir auf meine PM einmal antworten kannst, damit ich die Ergebnisse herauskopieren kann?

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

$$\mathrm{cos} \alpha=\frac{3}{5}\sqrt{2}, \mathrm{sin} \beta=\frac{1}{3}\sqrt{7}, \mathrm{sin} \gamma=\frac{4}{15}\sqrt{14}$$

Mein Lösungsblatt muss ich erstmal noch suchen gehen.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Mein Lösungsblatt muss ich erstmal noch suchen gehen.

Weg. Deshalb hier nur der Lösungsansatz. Die Seite AB sei 6, die Seite AC sei b. Das kleine rechtwinklige Dreieck hat dann die Hypotenuse $$\frac{2}{3}b$$ und die Ankathete von α ist 3. Das große rechtwinklige Dreieck hat die Hypothenuse 5 und die Ankathete von α ist $$\frac{4}{5}b$$.

Damit erhalten wir:

$$\mathrm{cos} \alpha = \frac{3}{\frac{2}{3}b} = \frac{\frac{4}{5}b}{5};\quad 15 = \frac{8}{15}b^2$$

Daraus kann man b ermitteln und α. Dann a über den Kosinussatz und die beiden anderen Winkel über den Sinussatz.

Bis demnächst
Matthias