Mathematik zum Wochenende – Lösung

[ottogal]

Nun ist der Flächeninhalt eines Dreiecks proportional zum Produkt zweier Seiten.

uff. Auf diese primitive Argumentation wäre ich nicht gekommen. Es stimmt ja offensichtlich, aber trotzdem musste ich erstmal schlucken als ich das las 😂

Und der eingeschlossene Winkel muss natürlich derselbe sein.

Matthias' Lösung ist freilich nur deshalb so knackig kurz, weil er die entscheidende Aussage ("Nun ist ... proportional ...") nicht aufzeigt.

Man kann die Flächenformel
$$\mathcal A = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$$
heranziehen (im $$\triangle ABC$$ mit Standardbezeichnungen):

Da $$\alpha$$ fest ist, ist $$\frac{1}{2} \sin \alpha$$ konstant, also sind $$\mathcal A$$ und $$bc$$ proportional.

Will man elementargeometrisch bleiben und ohne den $$\sin$$ auskommen, argumentiert man so:
Hält man $$c$$ fest, ist auch $$h_b$$ konstant; $$\mathcal A = \frac{1}{2}bh_b$$ bedeutet dann $$\mathcal A$$ ist proportional zu $$b$$.
Entsprechend ist bei festem $$b$$ auch $$h_c$$ konstant und daher dann $$\mathcal A$$ proportional zu $$c$$.
Folglich sind $$\mathcal A$$ und $$bc$$ proportional, wenn man beide Seitenlängen variiert.