@@ottogal > Nur Gunnar hat eine Lösung mitgeteilt, mit einer anderen Herleitung der Kongruenz der beiden Dreiecke. > @Gunnar Bittersmann : Magst du sie hier zeigen? Ja, gerne. Wo ich doch schon die [Skizze](https://forum.selfhtml.org/self/2020/apr/22/mathematik-zur-wochenmitte/1769641#m1769641) hier gespoilert hatte … Meine Lösung ist ein Zweiteiler. Der erste: [](/images/29c65244-8477-11ea-a992-b42e9947ef30.png) Da *S* auf *k*₁, *k*₂ und *k*₃ liegt, ist *M*₁*S* = *M*₂*S* = *M*₃*S* = *r*. *S* ist also der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks *M*₁*M*₂*M*₃; dessen Radius ist *r*. Wie man leicht sieht, sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* kongruent. Folglich hat auch der Umkreis des Dreiecks *ABC* den Radius *r*, q.e.d. Garstigerweise ließ @ottogal „Wie man leicht sieht“ nicht gelten und meinte, ich „möchte dies noch ein wenig sehen machen“. Ertappt. 🤭 Ich hatte zu dem Zeitpunkt noch keinen blassen Schimmer. Teil 2: Irgendwann kam dann das *Ηὕρηκα!*{:@grc} und ich hab’s gesehen: [](/images/19603326-879b-11ea-b0cb-b42e9947ef30.jpeg) Die Gleichheit der Größen der mit *α*, *α*′, *β*, *β*′, *γ* und *γ*′ bezeichneten Winkel ergibt sich daraus, dass *AS*, *BS* und *CS* die Mittelsenkrechten zu *M*₁*M*₃, *M*₂*M*₃ und *M*₁*M*₂ sind. Wegen Winkelsummen: *α*′ = 90° − *α*, *β*′ = 90° − *β*, *γ*′ = 90° − *γ*. Aus 2*α*′ + 2*β*′ + 2*γ*′ = 360° folgt *α*′ = *β* + *γ*, *β*′ = *α* + *γ*, *γ*′ = *α* + *β*. Damit ist ∠*M*₃*AM*₁ = ∠*CM*₂*B*. Außerdem stimmen die Dreiecke *M*₃*M*₁*A* und *CBM*₂ in den Schenkeln *AM*₁ = *AM*₃ = *M*₂*B* = *M*₂*C* = *r* überein, sind also nach SWS kongruent. Folglich *M*₁*M*₃ = *BC*. Analog zeigt man *M*₂*M*₃ = *AC* und *M*₁*M*₂ = *AB*. Damit sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* nach SSS kongruent. Und wie so oft ist ottogals Lösung die einfachere, elegantere. 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} -- Home Office ist so frustierend, weil man jetzt noch viel stärker bemerkt mit wievielen Menschen man zu tun hat, die nicht sinnerfassend lesen können. ([@Grantscheam](https://twitter.com/Grantscheam/status/1247046064504537092))

@@ottogal > Nur Gunnar hat eine Lösung mitgeteilt, mit einer anderen Herleitung der Kongruenz der beiden Dreiecke. > @Gunnar Bittersmann : Magst du sie hier zeigen? Ja, gerne. Wo ich doch schon die [Skizze](https://forum.selfhtml.org/self/2020/apr/22/mathematik-zur-wochenmitte/1769641#m1769641) hier gespoilert hatte … Meine Lösung ist ein Zweiteiler. Der erste: [](/images/29c65244-8477-11ea-a992-b42e9947ef30.png) Da *S* auf *k*₁, *k*₂ und *k*₃ liegt, ist *M*₁*S* = *M*₂*S* = *M*₃*S* = *r*. *S* ist also der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks *M*₁*M*₂*M*₃; dessen Radius ist *r*. Wie man leicht sieht, sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* kongruent. Folglich hat auch der Umkreis des Dreiecks *ABC* den Radius *r*, q.e.d. Garstigerweise lies @ottogal „Wie man leicht sieht“ nicht gelten und meinte, ich „möchte dies noch ein wenig sehen machen“. Ertappt. 🤭 Ich hatte zu dem Zeitpunkt noch keinen blassen Schimmer. Teil 2: Irgendwann kam dann das *Ηὕρηκα!*{:@grc} und ich hab’s gesehen: [](/images/19603326-879b-11ea-b0cb-b42e9947ef30.jpeg) Die Gleichheit der Größen der mit *α*, *α*′, *β*, *β*′, *γ* und *γ*′ bezeichneten Winkel ergibt sich daraus, dass *AS*, *BS* und *CS* die Mittelsenkrechten zu *M*₁*M*₃, *M*₂*M*₃ und *M*₁*M*₂ sind. Wegen Winkelsummen: *α*′ = 90° − *α*, *β*′ = 90° − *β*, *γ*′ = 90° − *γ*. Aus 2*α*′ + 2*β*′ + 2*γ*′ = 360° folgt *α*′ = *β* + *γ*, *β*′ = *α* + *γ*, *γ*′ = *α* + *β*. Damit ist ∠*M*₃*AM*₁ = ∠*CM*₂*B*. Außerdem stimmen die Dreiecke *M*₃*M*₁*A* und *CBM*₂ in den Schenkeln *AM*₁ = *AM*₃ = *M*₂*B* = *M*₂*C* = *r* überein, sind also nach SWS kongruent. Folglich *M*₁*M*₃ = *BC*. Analog zeigt man *M*₂*M*₃ = *AC* und *M*₁*M*₂ = *AB*. Damit sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* nach SSS kongruent. Und wie so oft ist ottogals Lösung die einfachere, elegantere. 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} -- Home Office ist so frustierend, weil man jetzt noch viel stärker bemerkt mit wievielen Menschen man zu tun hat, die nicht sinnerfassend lesen können. ([@Grantscheam](https://twitter.com/Grantscheam/status/1247046064504537092))

@@ottogal > Nur Gunnar hat eine Lösung mitgeteilt, mit einer anderen Herleitung der Kongruenz der beiden Dreiecke. > @Gunnar Bittersmann : Magst du sie hier zeigen? Ja, gerne. Wo ich doch schon die [Skizze](https://forum.selfhtml.org/self/2020/apr/22/mathematik-zur-wochenmitte/1769641#m1769641) hier gespoilert hatte … Meine Lösung ist ein Zweiteiler. Der erste: [](/images/29c65244-8477-11ea-a992-b42e9947ef30.png) Da *S* auf *k*₁, *k*₂ und *k*₃ liegt, ist *M*₁*S* = *M*₂*S* = *M*₃*S* = *r*. *S* ist also der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks *M*₁*M*₂*M*₃; dessen Radius ist *r*. Wie man leicht sieht, sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* kongruent. Folglich hat auch der Umkreis des Dreiecks *ABC* den Radius *r*, q.e.d. Garstigerweise lies @ottogal „Wie man leicht sieht“ nicht gelten und meinte, ich möchte dies noch ein wenig sehen machen. Ertappt. 🤭 Ich hatte zu dem Zeitpunkt noch keinen blassen Schimmer. Teil 2: Irgendwann kam dann das *Ηὕρηκα!*{:@grc} und ich hab’s gesehen: [](/images/19603326-879b-11ea-b0cb-b42e9947ef30.jpeg) Die Gleichheit der Größen der mit *α*, *α*′, *β*, *β*′, *γ* und *γ*′ bezeichneten Winkel ergibt sich daraus, dass *AS*, *BS* und *CS* die Mittelsenkrechten zu *M*₁*M*₃, *M*₂*M*₃ und *M*₁*M*₂ sind. Wegen Winkelsummen: *α*′ = 90° − *α*, *β*′ = 90° − *β*, *γ*′ = 90° − *γ*. Aus 2*α*′ + 2*β*′ + 2*γ*′ = 360° folgt *α*′ = *β* + *γ*, *β*′ = *α* + *γ*, *γ*′ = *α* + *β*. Damit ist ∠*M*₃*AM*₁ = ∠*CM*₂*B*. Außerdem stimmen die Dreiecke *M*₃*M*₁*A* und *CBM*₂ in den Schenkeln *AM*₁ = *AM*₃ = *M*₂*B* = *M*₂*C* = *r* überein, sind also nach SWS kongruent. Folglich *M*₁*M*₃ = *BC*. Analog zeigt man *M*₂*M*₃ = *AC* und *M*₁*M*₂ = *AB*. Damit sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* nach SSS kongruent. Und wie so oft ist ottogals Lösung die einfachere, elegantere. 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} -- Home Office ist so frustierend, weil man jetzt noch viel stärker bemerkt mit wievielen Menschen man zu tun hat, die nicht sinnerfassend lesen können. ([@Grantscheam](https://twitter.com/Grantscheam/status/1247046064504537092))

@@ottogal > Nur Gunnar hat eine Lösung mitgeteilt, mit einer anderen Herleitung der Kongruenz der beiden Dreiecke. > @Gunnar Bittersmann : Magst du sie hier zeigen? Ja, gerne. Wo ich doch schon die [Skizze](https://forum.selfhtml.org/self/2020/apr/22/mathematik-zur-wochenmitte/1769641#m1769641) hier gespoilert hatte … Meine Lösung ist ein Zweiteiler. Der erste: [](/images/29c65244-8477-11ea-a992-b42e9947ef30.png) Da *S* auf *k*₁, *k*₂ und *k*₃ liegt, ist *M*₁S = *M*₂S = *M*₃S = r. S ist also der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks *M*₁*M*₂*M*₃; dessen Radius ist r. Wie man leicht sieht, sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* kongruent. Folglich hat auch der Umkreis des Dreiecks *ABC* den Radius *r*, q.e.d. Garstigerweise lies @ottogal „Wie man leicht sieht“ nicht gelten und meinte, ich möchte dies noch ein wenig sehen machen. Ertappt. 🤭 Ich hatte zu dem Zeitpunkt noch keinen blassen Schimmer. Teil 2: Irgendwann kam dann das *Ηὕρηκα!*{:@grc} und ich hab’s gesehen: [](/images/19603326-879b-11ea-b0cb-b42e9947ef30.jpeg) Die Gleichheit der Größen der mit *α*, *α*′, *β*, *β*′, *γ* und *γ*′ bezeichneten Winkel ergibt sich daraus, dass *AS*, *BS* und *CS* die Mittelsenkrechten zu *M*₁*M*₃, *M*₂*M*₃ und *M*₁*M*₂ sind. Wegen Winkelsummen: *α*′ = 90° − *α*, *β*′ = 90° − *β*, *γ*′ = 90° − *γ*. Aus 2*α*′ + 2*β*′ + 2*γ*′ = 360° folgt *α*′ = *β* + *γ*, *β*′ = *α* + *γ*, *γ*′ = *α* + *β*. Damit ist ∠*M*₃*AM*₁ = ∠*CM*₂*B*. Außerdem stimmen die Dreiecke *M*₃*M*₁*A* und *CBM*₂ in den Schenkeln *AM*₁ = *AM*₃ = *M*₂*B* = *M*₂*C* = *r* überein, sind also nach SWS kongruent. Folglich *M*₁*M*₃ = *BC*. Analog zeigt man *M*₂*M*₃ = *AC* und *M*₁*M*₂ = *AB*. Damit sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* nach SSS kongruent. Und wie so oft ist ottogals Lösung die einfachere, elegantere. 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} -- Home Office ist so frustierend, weil man jetzt noch viel stärker bemerkt mit wievielen Menschen man zu tun hat, die nicht sinnerfassend lesen können. ([@Grantscheam](https://twitter.com/Grantscheam/status/1247046064504537092))

@@ottogal > Nur Gunnar hat eine Lösung mitgeteilt, mit einer anderen Herleitung der Kongruenz der beiden Dreiecke. > @Gunnar Bittersmann : Magst du sie hier zeigen? Ja, gerne. Wo ich doch schon die [Skizze](https://forum.selfhtml.org/self/2020/apr/22/mathematik-zur-wochenmitte/1769641#m1769641) hier gespoilert hatte … Meine Lösung ist ein Zweiteiler. Der erste: [](/images/29c65244-8477-11ea-a992-b42e9947ef30.png) Da *S* auf *k*₁, *k*₂ und *k*₃ liegt, ist *M*₁S = *M*₂S = *M*₃S = r. S ist also der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks *M*₁*M*₂*M*₃; dessen Radius ist r. Wie man leicht sieht, sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und *ABC* kongruent. Folglich hat auch der Umkreis des Dreiecks *ABC* den Radius *r*, q.e.d. Garstigerweise lies @ottogal „Wie man leicht sieht“ nicht gelten und meinte, ich möchte dies noch ein wenig sehen machen. Ertappt. 🤭 Ich hatte zu dem Zeitpunkt noch keinen blassen Schimmer. Teil 2: Irgendwann kam dann das *Ηὕρηκα!*{:@grc} und ich hab’s gesehen: [](/images/19603326-879b-11ea-b0cb-b42e9947ef30.jpeg) Die Gleichheit der Größen der mit *α*, *α*′, *β*, *β*′, *γ* und *γ*′ bezeichneten Winkel ergibt sich daraus, dass *AS*, *BS* und *CS* die Mittelsenkrechten zu *M*₁*M*₃, *M*₂*M*₃ und *M*₁*M*₂ sind. Wegen Winkelsummen: *α*′ = 90° − *α*, *β*′ = 90° − *β*, *γ*′ = 90° − *γ*. Aus 2*α*′ + 2*β*′ + 2*γ*′ = 360° folgt *α*′ = *β* + *γ*, *β*′ = *α* + *γ*, *γ*′ = *α* + *β*. Damit ist ∠*M*₃*AM*₁ = ∠*CM*₂*B*. Außerdem stimmen die Dreiecke *M*₃*M*₁*A* und *CBM*₂ in den Schenkeln *AM*₁ = *AM*₃ = *M*₂*B* = *M*₂*C* = *r* überein, sind also nach SWS kongruent. Folglich *M*₁*M*₃ = *BC*. Analog zeigt man *M*₂*M*₃ = *AC* und *M*₁*M*₂ = *AB*. Damit sind die Dreiecke *M*₁*M*₂*M*₃ und ABC nach SSS kongruent. Und wie so oft ist ottogals Lösung die einfachere, elegantere. 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} -- Home Office ist so frustierend, weil man jetzt noch viel stärker bemerkt mit wievielen Menschen man zu tun hat, die nicht sinnerfassend lesen können. ([@Grantscheam](https://twitter.com/Grantscheam/status/1247046064504537092))