Geometrie mit Rechtecken

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Die vier Winkelhalbierenden eines nichtquadratischen Rechtecks bilden ein Quadrat.

Für welches Seitenverhältnis …
… liegen Eckpunkte des Quadrates auf den Rechtecksseiten?
… halbieren Rechtecksseiten die Quadratseiten?
… sind die beiden Vierecke flächengleich?

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel, –

Die vier Winkelhalbierenden eines nichtquadratischen Rechtecks bilden ein Quadrat.

Es gibt [EDIT]für jedes Rechteck[/EDIT] zwei Fälle, in denen zwei der Rechtecksseiten gedrittelt werden. In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Quadrate?

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

Die vier Winkelhalbierenden eines nichtquadratischen Rechtecks bilden ein Quadrat.

Es gibt [EDIT]für jedes Rechteck[/EDIT] zwei Fälle, in denen zwei der Rechtecksseiten gedrittelt werden. In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Quadrate?

Da fehlt noch irgendeine Information.

Da nichts anderes erwähnt wurde, geht es immer noch um die Winkelhalbierenden. Und die dritteln z.B. nicht die Seiten eines Rechtecks mit dem Seitenverhältnis 2:1 - hier halbieren sie.

Welche Linien sollen das sein, die zwei der Seiten dritteln?

Bis demnächst
Matthias

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Matthias Apsel]

Hallo MudGuard,

Da fehlt noch irgendeine Information.

Hm. Stimmt.

Da nichts anderes erwähnt wurde, geht es immer noch um die Winkelhalbierenden. Und die dritteln z.B. nicht die Seiten eines Rechtecks mit dem Seitenverhältnis 2:1 - hier halbieren sie.

Welche Linien sollen das sein, die zwei der Seiten dritteln?

Rechtecke haben die Seitenlängen 1 und r. Es gibt zwei r, sodass die Winkelhalbierenden zwei der Rechtecksseiten dritteln.

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

Da nichts anderes erwähnt wurde, geht es immer noch um die Winkelhalbierenden. Und die dritteln z.B. nicht die Seiten eines Rechtecks mit dem Seitenverhältnis 2:1 - hier halbieren sie.

Welche Linien sollen das sein, die zwei der Seiten dritteln?

Rechtecke haben die Seitenlängen 1 und r. Es gibt zwei r, sodass die Winkelhalbierenden zwei der Rechtecksseiten dritteln.

ok, also doch nicht "jedes Rechteck".

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Da fehlt noch irgendeine Information.

Rechtecke haben die Seitenlängen 1 und r. Es gibt zwei r, sodass die Winkelhalbierenden zwei der Rechtecksseiten dritteln.

Immer noch fehlende Information als solche zu erkennen ist Teil der Aufgabe? 😏

😷 LLAP

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

die beiden ersten Fälle sind trivial, wie man durch einfache Skizzen sehen kann (@Gunnar Bittersmann, @ottogal) . Dennoch möchte ich sie in meiner Lösung mitbehandeln.

Zunächst überlegen wir uns, dass aus Symmetriegründen die Mittelpunkte der beiden Vierecke zusammenfallen. Es bietet sich an, diesen Punkt als Koordinatenursprung festzulegen.

Die Punkte des Rechtecks^[1] haben dann o.B.d.A. die Koordinaten $$A(- r | - 1), B(r | - 1), C(r | 1), D(- r | 1)$$ mit $$r > 0$$ und $$r$$ gibt gleichzeitig das Verhältnis an.

Man kann sich dann sehr leicht überlegen, dass P die Koordinaten $$P(1 - r | 0)$$ haben und $$R(r - 1 | 0)$$ gelten muss. Aus Symmetriegründen gilt weiter $$Q(0 | 1 - r)$$ und $$S(0 | r - 1)$$.

Das Rechteck hat den Flächeninhalt $$\mathrm{A_R}=2r$$, das Quadrat $$\mathrm{A_Q}=(r-1)^2$$.

Wenn die Eckpunkte des Quadrats auf den Rechteckseiten liegen sollen, muss $$1 = r - 1$$ gelten, also r = 2.

Wenn die Quadratseiten halbiert werden sollen, werden auch die entsprechenden halben Diagonalen des Qudrats halbiert: $$1 = \frac{1}{2}(r - 1)$$, also r = 3.

Für den Frage nach dem gleichen Flächeninhalt ist die Gleichung $$2r = (r-1)^2$$ zu lösen, es gibt die Lösungen $$r_{1/2}=2 \pm \sqrt{3}$$.

Neben den beiden schon genannten hat auch @Rolf B eine korrekte Lösung abgeliefert.

Die Zusatzaufgabe haben wiederum @ottogal und @Gunnar Bittersmann grafisch gelöst, es geht aber auch mit der rechnerischen Variante. Weil die aber aufwändiger ist, zeige ich Gunnars Lösung.

Im ersten Fall ist das Verhältnis der Flächeninhalte 1:4, im zweiten 1:16.

Bis demnächst
Matthias

---

1. Mit Rechteck ist hier immer das nichtquadratische Rechteck gemeint, dessen Winkel halbiert werden. ↩︎