Geometrie mit Rechtecken – Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

die beiden ersten Fälle sind trivial, wie man durch einfache Skizzen sehen kann (@Gunnar Bittersmann, @ottogal) . Dennoch möchte ich sie in meiner Lösung mitbehandeln.

Zunächst überlegen wir uns, dass aus Symmetriegründen die Mittelpunkte der beiden Vierecke zusammenfallen. Es bietet sich an, diesen Punkt als Koordinatenursprung festzulegen.

Die Punkte des Rechtecks^[1] haben dann o.B.d.A. die Koordinaten $$A(- r | - 1), B(r | - 1), C(r | 1), D(- r | 1)$$ mit $$r > 0$$ und $$r$$ gibt gleichzeitig das Verhältnis an.

Man kann sich dann sehr leicht überlegen, dass P die Koordinaten $$P(1 - r | 0)$$ haben und $$R(r - 1 | 0)$$ gelten muss. Aus Symmetriegründen gilt weiter $$Q(0 | 1 - r)$$ und $$S(0 | r - 1)$$.

Das Rechteck hat den Flächeninhalt $$\mathrm{A_R}=2r$$, das Quadrat $$\mathrm{A_Q}=(r-1)^2$$.

Wenn die Eckpunkte des Quadrats auf den Rechteckseiten liegen sollen, muss $$1 = r - 1$$ gelten, also r = 2.

Wenn die Quadratseiten halbiert werden sollen, werden auch die entsprechenden halben Diagonalen des Qudrats halbiert: $$1 = \frac{1}{2}(r - 1)$$, also r = 3.

Für den Frage nach dem gleichen Flächeninhalt ist die Gleichung $$2r = (r-1)^2$$ zu lösen, es gibt die Lösungen $$r_{1/2}=2 \pm \sqrt{3}$$.

Neben den beiden schon genannten hat auch @Rolf B eine korrekte Lösung abgeliefert.

Die Zusatzaufgabe haben wiederum @ottogal und @Gunnar Bittersmann grafisch gelöst, es geht aber auch mit der rechnerischen Variante. Weil die aber aufwändiger ist, zeige ich Gunnars Lösung.

Im ersten Fall ist das Verhältnis der Flächeninhalte 1:4, im zweiten 1:16.

Bis demnächst
Matthias

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1. Mit Rechteck ist hier immer das nichtquadratische Rechteck gemeint, dessen Winkel halbiert werden. ↩︎