Mathematik zum Dienstag

[Gunnar Bittersmann]

Welches Dreieck hat den größeren Flächeninhalt: das mit den Längen 5-5-6 oder das mit 5-5-8?

Da es nicht so schwer sein sollte, die Lösung zu finden, ist die eleganteste Lösung gefragt. 😉

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Welches Dreieck hat den größeren Flächeninhalt: das mit den Längen 5-5-6 oder das mit 5-5-8?

Da es nicht so schwer sein sollte, die Lösung zu finden, ist die eleganteste Lösung gefragt. 😉

Man kann mit geballter Rechenpower auf das Problem einhauen:

Nur ist das nicht sonderlich elegant.

Der Martin, encoder, Matthias Apsel und ottogal fanden alle die eleganteste Lösung; ich fand die schönste Lösung. 😸

(Aufgabe von Alex Kontorovich)

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Akiva Weinberger:

@AlexKontorovich
Another solution: draw a 6×8 rectangle. Draw both diagonals — by Pythagoras, the diagonals have length 10. The diagonals of a rectangle always divide it into four equal-area pieces, and we can see that these triangles are 5-5-6 and 5-5-8. (And thus the area is 6×8/4=12.)

Bis demnächst
Matthias

[ottogal]

Am elegantesten finde ich immer einen "Proof without words" (hier für die Behauptung, dass beide Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben):

Für die Lösung von Akiva Weinberger reicht dieser "Proof without words":

Natürlich kommt dann immer die Diskussion auf, dass so etwas kein richtiger Beweis sei (sondern unzureichend, wie die Aussage "Man sieht, dass...") – insbesondere, dass unausgesprochene Sachverhalte mitbenutzt werden (wie hier, dass Dreiecke mit gleicher Grundseite bei gleicher Höhe flächengleich sind)...

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Welches Dreieck hat den größeren Flächeninhalt: das mit den Längen 5-5-6 oder das mit 5-5-8?

Man ermittle die Länge der Basis des flächengrößten gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge 5.

Da es nicht so schwer sein sollte, die Lösung zu finden, ist die eleganteste Lösung gefragt. 😉

Da es nicht so schwer sein sollte, die Lösung zu finden, ist eine ohne Verwendung der Differentialrechnung gefragt. 😉

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

ein Draht der Länge d wird zu einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck gebogen. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks?

Lösungen gibt es, wenn ich wieder zu Hause bin.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Und wie groß ist seine Höhe?

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

auf einer Kathete oder auf der Hypotenuse?

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

auf einer Kathete oder auf der Hypotenuse?

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist die auf der Hypotenuse. Die beiden anderen sind ja die Katheten selbst.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

wollte ja nur wissen ob ich mich rauswieseln darf 😂

Rolf

[Rolf B]

Hallo Matthias,

hm, das hat keine glatte Lösung. Die Fläche ist proportional zum Quadrat von d, mit einem Faktor von $$K=\frac{1}{(2+2\sqrt2)^2}$$. Da man den Draht eh nicht so genau biegen kann und er nach dem Abwickeln von der Rolle vermutlich auch etwas krumm bleibt, lässt sich K problemlos durch 1/23 oder 3/70 approximifizieren.

Die Höhe ist proportional zu d mit einem Faktor von $$K \sqrt2$$.

Den Lösungsweg spoilere ich noch nicht 😂

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

man weiß ja eine ganze Menge über das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck. Seine Seitenlängen sind a, a und √2 a, die Höhe beträgt ½ √2 a, der Flächeninhalt ist ½ a².

Folglich gilt:

$$2a + \sqrt{2}a = d$$

und deshalb

$$a = \frac{1}{2+\sqrt{2}} \cdot d$$

Das könnte man jetzt hübsch machen^[1], aber das geht auch nach der Rechnung, die nur noch simples Einsetzen ist.

$$A = \frac{3-2\sqrt{2}}{4} \cdot d^2$$

$$h = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \cdot d$$

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.

Bis demnächst
Matthias

---

1. Warum macht man eigentlich Nenner rational - Zusatzaufgabe 😉😉😉😉 ↩︎

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Man ermittle die Länge der Basis des flächengrößten gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge 5.

Wenn man weiß, dass das Quadrat unter allen Parallelogrammen gleichen Umfangs den größten Flächeninhalt hat^[1], liegt die Lösung auf der Hand. Es ist das rechtwinklige Dreieck mit der Basislänge $$5\sqrt{2}$$. Diese Lösung lieferten @ottogal, @encoder und @Gunnar Bittersmann.

Eine weitere Lösung:

Es gibt eine Darstellung der Heronschen Dreiecksformel.

$$4A=\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}$$

Für a = b

$$4A=\sqrt{4a^4-(2a^2-c^2)^2}$$

Dieser Wert ist dann am größten, wenn der nichtnegative Subtrahend minimal, also null, wird.

Das ist der Fall für 2a² = c² und entspricht dem Satz des Pythagoras. Damit ist das Dreieck rechtwinklig.

Bis demnächst
Matthias

---

1. Woher weiß man das eigentlich – Zusatzaufgabe 😉 ↩︎

[Der Martin]

Guten Abend,

Wenn man weiß, dass das Quadrat unter allen Parallelogrammen gleichen Umfangs den größten Flächeninhalt hat[^1],

[^1:] Woher weiß man das eigentlich – Zusatzaufgabe 😉😉😉😉

die Natur zeigt uns, dass eine Kugel (in 3D) bzw. ein Kreis (in 2D) im Verhältnis zum Volumen/zur Fläche die kleinste Oberfläche/den kleinsten Umfang hat: Wassertropfen nehmen aufgrund der Oberfächenspannung in der Schwerelosigkeit Kugelform an, Seifenblasen tendieren zur Kugelform, eine Fadenschlinge bildet auf einer Wasseroberfläche einen Kreis, wenn man ein paar Tropfen Spülmittel ins Innere gibt.
Ich folgere daraus: Je regelmäßiger ein Körper ist, desto größer sein Volumen im Verhältnis zur Oberfläche (sinngemäß in 2D).

Wie man das mathematisch schlüssig zeigt ... keine Ahnung.

Ciao,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

die Natur zeigt uns, dass eine Kugel (in 3D) bzw. ein Kreis (in 2D) im Verhältnis zum Volumen/zur Fläche die kleinste Oberfläche/den kleinsten Umfang hat: Wassertropfen nehmen aufgrund der Oberfächenspannung in der Schwerelosigkeit Kugelform an, Seifenblasen tendieren zur Kugelform, eine Fadenschlinge bildet auf einer Wasseroberfläche einen Kreis, wenn man ein paar Tropfen Spülmittel ins Innere gibt.

Stimmt.

Ich folgere daraus: Je regelmäßiger ein Körper ist, desto größer sein Volumen im Verhältnis zur Oberfläche (sinngemäß in 2D).

Wie man das mathematisch schlüssig zeigt ... keine Ahnung.

wie man das mathematisch schlüssig zeigt, weiß ich auch nicht. Für das Quadrat ist es aber relativ einfach.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

n'Abend Matthias,

Wie man das mathematisch schlüssig zeigt ... keine Ahnung.

wie man das mathematisch schlüssig zeigt, weiß ich auch nicht. Für das Quadrat ist es aber relativ einfach.

ja, der Sinus hat bei einem Argument von 90° sein Maximum.
Das ist aber ein ausgewählter Fall eines allgemeinen Prinzips.

Ciao,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

ja, der Sinus hat bei einem Argument von 90° sein Maximum.

Beim Rechteck sind auch alle Innenwinkel 90°. 😜

Das ist aber ein ausgewählter Fall eines allgemeinen Prinzips.

Eben.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

$$A = a \cdot b, a + b = \ell$$

$$b = \ell - a$$

$$A = a \cdot (\ell -a)$$

Hierbei handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $$a = 0$$ und $$a = \ell$$. Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen bei $$a=\frac{\ell}{2}$$. Also ist das Produkt zweier Zahlen mit konstanter Summe dann am größten, wenn beide Faktoren gleich groß sind.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo Matthias,

$$A = a \cdot b, a + b = \ell$$

$$b = \ell - a$$

$$A = a \cdot (\ell -a)$$

Hierbei handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $$a = 0$$ und $$a = \ell$$. Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen bei $$a=\frac{\ell}{2}$$. Also ist das Produkt zweier Zahlen mit konstanter Summe dann am größten, wenn beide Faktoren gleich groß sind.

das ist aber nur der Beweis, dass ein Quadrat unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang die größte Fläche hat. Du hast aber eingangs von Parallelogrammen gesprochen.

Du müsstest also auch noch erwähnen, dass ein nicht rechtwinkliges Parallelogramm mit den Seiten a und b immer eine kleinere Fläche hat als das rechtwinklige (aka Rechteck) mit den gleichen Seitenlängen.

Das ist aber nur eine Formsache, da die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt der Seitenlängen mal dem Sinus eines der Winkel ist. Und der Sinus hat bei 90° sein Maximum, nämlich 1.

Ciao,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Das ist aber nur eine Formsache, da die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt der Seitenlängen mal dem Sinus eines der Winkel ist. Und der Sinus hat bei 90° sein Maximum, nämlich 1.

Genau. Und außerdem hast du das ja schon gemacht. 😜

Bis demnächst
Matthias