Mathematik zum Schokoladenstreit

[Gunnar Bittersmann]

Quadratisch, praktisch, entschieden

Drei Quadrate. Das grüne (linke) hat die Fläche 16. Wie groß ist die Fläche des blauen (rechten)?

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Der Martin]

Hallo,

Drei Quadrate. Das grüne (linke) hat die Fläche 16. Wie groß ist die Fläche des blauen (rechten)?

mir fehlt da irgendwie noch eine Bedingung, z.B. ein vorgegebenes Streckenverhältnis oder ein Winkel. Du gibst weder vor, wie groß das schwarze Quadrat (im Verhältnis zu einem der anderen) sein soll, noch um welchen Winkel das grüne oder das blaue Quadrat gekippt sein soll.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

mir fehlt da irgendwie noch eine Bedingung, z.B. ein vorgegebenes Streckenverhältnis oder ein Winkel.

mir fehlt ≠ es fehlt 😉

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Der Martin]

Hallo,

mir fehlt da irgendwie noch eine Bedingung, z.B. ein vorgegebenes Streckenverhältnis oder ein Winkel.

mir fehlt ≠ es fehlt 😉

die diversen Ansätze zeigen deutlich, dass es sogar verschiedene Möglichkeiten gibt, sich der Lösung zu nähern.

Die Tatsache, dass ich keinem der Lösungsansätze wirklich folgen kann (im Sinne von: ihn verstehen), lässt mich vermuten, dass mir entweder entscheidende kognitive Fähigkeiten fehlen, oder die nötige Gewandtheit in Geometrie. Ich vermute letzteres.

Na gut, Hauptsache ihr habt Spaß! ^[1]

Live long and pros healthy,
 Martin

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1. Frei nach der Media-Markt-Werbung der letzten Jahre. ↩︎

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Die Tatsache, dass ich keinem der Lösungsansätze wirklich folgen kann (im Sinne von: ihn verstehen),

auch meinem (zweiten) nicht?

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo Matthias,

Die Tatsache, dass ich keinem der Lösungsansätze wirklich folgen kann (im Sinne von: ihn verstehen),

auch meinem (zweiten) nicht?

der zweiten Hälfte schon, aber ich scheitere an der Eingangsvoraussetzung: "wir sind uns einig, dass nur nachzuweisen ist, dass die Diagonalenlänge des grünen gleich der Seitenlänge des blauen ist"

Mit den gegebenen Voraussetzungen kann ich nach Belieben das blaue Quadrat vergrößern, dann verkleinert sich das grüne (oder umgekehrt).

Im Extremfall, wenn das blaue Quadrat das schwarze komplett ausfüllt, erkenne ich, dass die Diagonale des grünen gleich der Seitenlänge des blaune (und des schwarzen) Quadrats ist. Aber woher weiß ich, dass das auch abseits dieses Extremfalls gilt? Bei diesem Schritt bin ich komplett im luftleeren Raum.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

aber ich scheitere an der Eingangsvoraussetzung: "wir sind uns einig, dass nur nachzuweisen ist, dass die Diagonalenlänge des grünen gleich der Seitenlänge des blauen ist"

Das ist ja nur der Verzicht auf notwendige, aber triviale Rechnereien: Wenn man von einem Quadrat eine der Größen Seitenlänge, Diagonalenlänge, Flächeninhalt kennt, kann man die beiden anderen berechnen.

Im Extremfall, wenn das blaue Quadrat das schwarze komplett ausfüllt, erkenne ich, dass die Diagonale des grünen gleich der Seitenlänge des blaune (und des schwarzen) Quadrats ist.

Respekt für dein räumliches Vorstellungsvermögen!

Aber woher weiß ich, dass das auch abseits dieses Extremfalls gilt? Bei diesem Schritt bin ich komplett im luftleeren Raum.

Da war ich auch sehr lange im luftleeren Raum.

der zweiten Hälfte [kann ich] schon [folgen],

Das ist ja dann die zweite Hälfte. 😀

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

wie groß das schwarze Quadrat

Wenn nach der Größe des schwarzen Quadrats gefragt wäre, wären tatsächlich weitere Informationen nötig…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wieder eine Aufgabe von Catriona Shearer. Sie schreibt dazu: “I came up with this one a couple of weeks ago, but didn’t ever draw it up properly. Today I found this sketch a margin. I’d completely forgotten how to solve it - it took me quite a while and several false starts! Then one key insight and I could do it in my head.”

Wir nehmen gleich mal diese Orientierung und legen das Koordinatensystem so, dass O(0, 0), A(1, 0), C(0, 1), Q(0, q) mit 0 < q < 1. Der Mittelpunkt von QA ist dann M(½, ½q).

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MP}=\dbinom{0}{q}+\dbinom{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}q}+\dbinom{\frac{1}{2}q}{\frac{1}{2}}=\dbinom{\frac{1}{2}q+{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}q+{\frac{1}{2}}}$$,^[1]
d.h. P liegt auf der Geraden y = x, der Diagonalen von OABC.

(Für dies „key insight“ muss man aber nicht die Vektorrechnung bemühen; das lässt sich auch geometrisch zeigen. @Tabellenkalk⁠s Herleitung begann mit „Wie man leicht sieht“ – da schrillten bei mir erstmal die Alarmglocken. 🤯 Man kann’s aber wirklich sehen.)

Aus Symmetriegründen ist CP = AP, die Diagonale des grünen Quadrats ist so lang wie eine Seite des blauen. Die Seitenlängen der beiden Quadrate verhalten sich wie 1 : √2, die Flächen wie 1 : 2. Die Fläche des blauen Quadrats beträgt also 32.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

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1. Dieses LaTeX-Dingens ist ziemlich unbrauchbar. Da geht ja gar nichts mehr, nicht einmal Matritzen. ↩︎

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

(Für dies „key insight“ muss man aber nicht die Vektorrechnung bemühen; das lässt sich auch geometrisch zeigen. @Tabellenkalk⁠s Herleitung begann mit „Wie man leicht sieht“ – da schrillten bei mir erstmal die Alarmglocken. 🤯 Man kann’s aber wirklich sehen.)

@ottogal hat’s dann auch in Worte gefasst:

Wir betrachten die Beziehung zwischen dem großen Quadrat OEFG und dem blauen Quadrat PHFC, die die Ecke F gemeinsam haben. Vorausgesetzt ist noch: P ist ein beliebiger Punkt auf der Strecke [OE].

O.b.d.A. nehmen wir die Seitenlänge des großen Quadrats als 1 an, sowie ein Koordinatensystem mit Ursprung O und den Einheitspunkten E bzw. G auf der x- bzw. y-Achse

Projiziert man die Diagonale [PF] senkrecht auf die y-Achse, so erhält man die Strecke [OG] mit der Länge 1.
Die andere Diagonale [HC] erhält man durch Rotation von [PF] um +90° (Zentrum M).
Daher muss die senkrechte Projektion von [HC] auf die x-Achse ebenfalls die Länge 1 haben:
LK = 1.

Da auch [OE] = 1 ist, folgt: [OL] = [EK].

Verschiebt man nun das blaue Quadrat PHFC um OL nach links, so kommen C und H auf die Seiten des großen Quadrats zu liegen. (Das verschobene Quadrat P'H'F'C' ist von vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken umgeben, die in den Katheten übereinstimmen.)

Insbesondere folgt: P' = L, d.h. das Dreieck OPC ist gleichschenklig, somit ist OC = PC.

[OC] ist nun aber die Diagonale des grünen Dreiecks, also um den Faktor $$\sqrt{2}$$ länger als dessen Seite. Die Seitenlänge der beiden Quadrate verhalten sich also wie $$1:\sqrt{2}$$, ihre Flächeninhalte daher wie 1 : 2 oder 16 : 32.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

@ottogal hat’s dann auch in Worte gefasst:

Ich versuch es auch mal (wir sind uns einig, dass nur nachzuweisen ist, dass die Diagonalenlänge des grünen gleich der Seitenlänge des blauen ist):

Weil die eine Diagonale des blauen Quadrates in das große passt, muss auch die andere Diagonale (LP) in das große Quadrat passen. Die Diagonalen des Rechtecks AOGL sind die Diagonale des grünen (AG) und die Seite des blauen Quadrates (OL).

Fast ein Beweis ohne Worte.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

(Für dies „key insight“ muss man aber nicht die Vektorrechnung bemühen; das lässt sich auch geometrisch zeigen. @Tabellenkalk⁠s Herleitung begann mit „Wie man leicht sieht“ – da schrillten bei mir erstmal die Alarmglocken. 🤯 Man kann’s aber wirklich sehen.)

@Matthias Apsel hat auch nicht die Vektorrechnung bemüht, sondern Winkelfunktionen:

Das umgebende Quadrat habe die Seitenlänge 1, d ist die Diagonale des blauen Quadrats, a seine Seitenlänge. Die Strecke AG ist die Diagonale des grünen Quadrats.

Es gilt: d = 1/cos(α) und x = tan(α).

$$a = \frac{1}{2}\sqrt{2}d$$

$$\sin(45°-α) = \frac{y}{a}$$

$$y=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot d \cdot \sin(45°-α)$$

$$y=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\cos(α)} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} (\cos(α)-\sin(α))$$

$$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\cos(α)} \cdot (\cos(α)-\sin(α))$$

$$y=\frac{1}{2}\cdot (1-\tan(α))$$

Wie man leicht prüft, ist 2y + x = 1. Damit ist das Dreieck AEG gleichschenklig und somit die Diagonalenlänge des grünen gleich der Seitenlänge des blauen und das blaue mithin doppelt so groß wie das grüne.

Anmerkung von mir: Funktionsbezeichner sollten nicht kursiv gesetzt werden. In LaTeX \sin, \cos, \tan etc. verwenden.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[ottogal]

Die Fläche des blauen Quadrats beträgt also 64.

Uups...! 😁

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Die Fläche des blauen Quadrats beträgt also 64.

Uups...! 😁

Huch, wie konnte denn das passieren? Berichtigt.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!