Mathematik für die Woche – Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

man zeige, dass die Gleichung $$3^m-2^n = \pm 1$$ für nicht negative ganze Zahlen m und n genau 4 Lösungen besitzt.

Diese Fragestellung ist ein Teil der Catalanschen Vermutung. Der vermutlich erste Beweis stammt von Levi ben Gershon (1288-1344).

$$3^m-2^n = \pm 1$$

Wir schauen uns die Reste r bei Division durch 8 an:

$$p$$	$$p \equiv r \mod 8$$
$$2^0$$	1
$$2^1$$	2
$$2^2$$	4
$$2^n; n \ge 3$$	0
$$3^{2k}$$	1
$$3^{2k+1}$$	3

$$3^m-2^n = -1$$

Ein Blick in die Tabelle verrät zwei Lösungen: (0; 1) und (1; 2) [jeweils k=0]

$$3^m-2^n = 1$$

Ein Blick in die Tabelle verrät die Lösungen (2; 3) und (1; 1).

Weitere Lösungen für n < 4 gibt es nicht.

$$p$$	$$p \equiv r \mod 8$$
$$2^n; n \ge 3$$	0
$$3^{2k}$$	1
$$3^{2k+1}$$	3

Weitere Lösungen gibt es nur, falls m gerade ist und auf der rechten Seite der Gleichung 1 steht.

$$3^{2k}-2^n = 1$$
$$3^{2k}-1 = 2^n$$
$$(3^k+1)(3^k-1) = 2^n$$

Auf der linken Seite steht ein Produkt, dessen Faktoren die Differenz 2 haben.

$$(a+2) \cdot a = 2^n$$

Damit ein Produkt eine Zweierpotenz ist, müssen beide Faktoren Zweierpotenzen sein. Das geht nur für $$a = 2$$. $$a = 2$$ bedeutet $$k = 1$$ sowie $$m = 2$$ und $$n = 3$$. Diese Lösung haben wir schon.

Bis demnächst
Matthias