Mathematik für die Woche

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

man zeige, dass die Gleichung $$3^m-2^n = \pm 1$$ für nicht negative ganze Zahlen m und n genau 4 Lösungen besitzt.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

okay. Ich habe 4 Lösungen.

Aber - äh - dass es keine monumentale Kombination von m und n geben kann, für die es auch eine Lösung geben KÖNNTE - tjaaaa.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

ich geb mal noch einen Lösungshinweis: Modulo 8.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

man zeige, dass die Gleichung $$3^m-2^n = \pm 1$$ für nicht negative ganze Zahlen m und n genau 4 Lösungen besitzt.

Diese Fragestellung ist ein Teil der Catalanschen Vermutung. Der vermutlich erste Beweis stammt von Levi ben Gershon (1288-1344).

$$3^m-2^n = \pm 1$$

Wir schauen uns die Reste r bei Division durch 8 an:

$$p$$	$$p \equiv r \mod 8$$
$$2^0$$	1
$$2^1$$	2
$$2^2$$	4
$$2^n; n \ge 3$$	0
$$3^{2k}$$	1
$$3^{2k+1}$$	3

$$3^m-2^n = -1$$

Ein Blick in die Tabelle verrät zwei Lösungen: (0; 1) und (1; 2) [jeweils k=0]

$$3^m-2^n = 1$$

Ein Blick in die Tabelle verrät die Lösungen (2; 3) und (1; 1).

Weitere Lösungen für n < 4 gibt es nicht.

$$p$$	$$p \equiv r \mod 8$$
$$2^n; n \ge 3$$	0
$$3^{2k}$$	1
$$3^{2k+1}$$	3

Weitere Lösungen gibt es nur, falls m gerade ist und auf der rechten Seite der Gleichung 1 steht.

$$3^{2k}-2^n = 1$$
$$3^{2k}-1 = 2^n$$
$$(3^k+1)(3^k-1) = 2^n$$

Auf der linken Seite steht ein Produkt, dessen Faktoren die Differenz 2 haben.

$$(a+2) \cdot a = 2^n$$

Damit ein Produkt eine Zweierpotenz ist, müssen beide Faktoren Zweierpotenzen sein. Das geht nur für $$a = 2$$. $$a = 2$$ bedeutet $$k = 1$$ sowie $$m = 2$$ und $$n = 3$$. Diese Lösung haben wir schon.

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

Wir schauen uns die Reste r bei Division durch 8 an:

warum?

Was haben die Reste der Division durch 8 mit der Fragestellung zu tun? Warum nicht die Reste der Division durch 9. Oder durch 17?

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Rolf B]

Hallo Andreas,

das ist doch immer die Frage bei Beweisen, oder?

Einfache Antwort: Weil's zielführend ist. Auch wenn du und ich keine Ahnung haben, wie man drauf kommt. Aber immerhin glaube ich nachvollzogen zu haben, wie der Beweis funktioniert.

Was man für die Überlegungen zu den 3er Potenzen im Hinterkopf haben muss, ist das Modulo-Verhalten der Neun (aus der Grundschule als Neunerprobe bekannt).

$$9a \equiv a \mod 9$$

Rolf

[Der Martin]

Hallo Rolf,

entweder kann ich dir gerade nicht folgen, oder du bist auf dem Holzweg und ich will dir nicht folgen.

Was man für die Überlegungen zu den 3er Potenzen im Hinterkopf haben muss, ist das Modulo-Verhalten der Neun (aus der Grundschule als Neunerprobe bekannt).

Mir ist das nicht bekannt. Was verbirgt sich dahinter? Ich kenne wohl die Regel, dass eine Zahl durch 9 tteilbar ist, wenn ihr Quersumme durch 9 teilbar ist (analog mit 3). Meinst du das? Wenn ja, sehe ich aber nicht die Verbindung zur Modulo-Operation.

$$9a \equiv a \mod 9$$

Und jetzt hast du mich ganz abgehängt. Wieso soll das Neunfache einer Zahl identisch mit ihrem Divisionsrest durch Neun sein?

Live long and pros healthy,
 Martin

[Rolf B]

Hallo Der,

streiche meinen Beitrag aus deinem Geist, meiner war wohl umnachtet.

Ich beginne mit dem Nachdenken von vorn. Wieso ist $$3^{2k} \equiv 1 \mod 8$$ - das glaubte ich begriffen zu haben. Grmbl. Das gilt scheinbar auch NUR für 2, 4 und 8.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Ich beginne mit dem Nachdenken von vorn. Wieso ist $$3^{2k} \equiv 1 \mod 8$$ - das glaubte ich begriffen zu haben. Grmbl.

Das sind die Zahlen: 1, 9, 81, 729, 6561, ... Alle lassen bei Division durch 8 den Rest 1.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

ja, aber warum? Das ist doch erstmal zu beweisen. Da lag ich bisher falsch, also probiere ich' mal mit vollständiger Induktion.

Anfang: Rest von 9 durch 8 ist 1. Check!

Behauptung: Wenn $$X \equiv 1 \mod 8$$, dann auch $$9X \equiv 1 \mod 8$$.

Mathelexikon zu Hilfe - Modulo-Rechenregeln. Die habe ich damals in der Schule nicht gelernt und heute lernt die schon gar keiner mehr. Wenn $$a \equiv a' \mod m$$ und $$b \equiv b' \mod m$$, dann ist auch $$ab \equiv a'b' \mod m$$.

Daraus folgt: Weil $$9 \equiv 1 \mod 8$$, ist $$9a \equiv 1a \mod 8$$.

Rolf

[Der Martin]

Hallo,

Ich beginne mit dem Nachdenken von vorn.

das ist manchmal das Beste. :-)

Wieso ist $$3^{2k} \equiv 1 \mod 8$$

Ich habe mit deiner Notation immer noch ein Verständnisproblem. Ich lese deine Formel als "3 hoch 2k ist identisch mit 1 modulo 8". Meintest du nicht eher "(3 hoch 2k) modulo 8 ist gleich 1"?
Wobei $$3^{2k} = 9^{k}$$ ist, und der Identitäts-Operator fehl am Platz.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Rolf B]

Hallo Martin,

nein, das $$\equiv$$ steht nicht für identisch, sondern für äquivalent (was nicht das gleiche meint wie $$\Longleftrightarrow$$). Es steht auch nicht alleine, sondern ergibt nur zusammen mit der mod N Angabe diesen Sinn.

$$a \equiv b \mod m$$ bedeutet: a ist äquivalent zu b in der Restklasse m, oder platt gesagt: a und b haben bei Division durch m den gleichen Rest.

Rolf

[Der Martin]

Hallo,

nein, das $$\equiv$$ steht nicht für identisch, sondern für äquivalent

das ist dann aber sehr irreführend. Ich kannte das Symbol "drei waagrechte Linien übereinander" bisher nur als ist identisch.

$$a \equiv b \mod m$$ bedeutet: a ist äquivalent zu b in der Restklasse m, oder platt gesagt: a und b haben bei Division durch m den gleichen Rest.

Gut, dann habe ich es jetzt auch verstanden. Das erschließt sich aus der Schreibweise an sich aber nicht. Die finde ich sehr kryptisch.

Live long and pros healthy,
 Martin

[1unitedpower]

nein, das $$\equiv$$ steht nicht für identisch, sondern für äquivalent

das ist dann aber sehr irreführend.

Gleichheit wird in der Mathematik sowieso sehr oft übergangen und nur informell behandelt. Im Detail beschäftigen sich eigentlich nur die mathematischen Grundlagen-Disziplinen damit, wie die Mengenlehre, Typ-Theorie und Kategorien-Theorie. Bei nLab gibt es einen kurzen Artikel über verschiedenen Perspektiven zu dem Thema.

Man könnte meinen über Gleichheit sei längst alles gesagt, aber es ist noch gar nicht so lange her da erfasste ein Raunen die moderne mathematische Gesellschaft, weil jemand folgenden Satz gesagt hat:

In other words, identity is equivalent to equivalence. In particular, one may say that “equivalent types are identical”. However, this phrase is somewhat misleading, since it may sound like a sort of “skeletality” condition which collapses the notion of equivalence to coincide with identity, whereas in fact univalence is about expanding the notion of identity so as to coincide with the (unchanged) notion of equivalence.

Das ist eine Idee einer neuen mathematischen Grundlagen-Disziplin, die sich "Univalent Foundations" schimpft. Manche Mathematiker glauben sogar, dass sie das Potenzial hat die Mengenlehre als defakto Fundament der Mathematik abzulösen. Auf jeden Fall scheint das gerade ein heißes Eisen zu sein.

Das obige Zitat ist ein Auszug aus dem Homotopy Type Theory Buch, das ist gewissermaßen die Einführungsliteratur für alle, die sich mit dem Thema befassen. Ich bilde mir ein etwas Ahnung von Typ-Theorie zu haben, und kann wissenschaftliche Veröffentlichungen in dem Bereich recht gut lesen, aber das Buch liegt jetzt schon seit mehr als einem Jahr auf meinem Nachttisch und beschäftigt mich. Es ist keine leichte Kost, aber spannender als jeder Stephen King Roman (zumindest für manche Mathe-Nerds).

Für Informatiker ist das übrigens auch interessant, weil die nächste Generation von Beweis-Assistenten und funktionalen Programmiersprachen auf diesen Grundlagen aufbauen wird. Prototypen gibt es sogar schon. Agda scheint da gerade führend zu sein.

[Der Martin]

Hallo,

nein, das $$\equiv$$ steht nicht für identisch, sondern für äquivalent

das ist dann aber sehr irreführend.

Gleichheit wird in der Mathematik sowieso sehr oft übergangen und nur informell behandelt.

aber Gleichheit und Identität sind ja nicht das gleiche, erst recht nicht dasselbe.

Im Detail beschäftigen sich eigentlich nur die mathematischen Grundlagen-Disziplinen damit, wie die Mengenlehre, Typ-Theorie und Kategorien-Theorie.

Ich hätte jetzt an erster Stelle eher die Arithmetik und Algebra erwartet, bei der Identität vielleicht Mengenlehre und Geometrie.

Das obige Zitat ist ein Auszug aus dem Homotopy Type Theory Buch, [...] aber spannender als jeder Stephen King Roman (zumindest für manche Mathe-Nerds).

Zu diesen Nerds zähle ich mich nicht. Ich nutze die Mathematik als Mittel zum Zweck, habe aber kein Interesse, tiefer einzusteigen.

Live long and pros healthy,
 Martin

[1unitedpower]

Gleichheit wird in der Mathematik sowieso sehr oft übergangen und nur informell behandelt.

aber Gleichheit und Identität sind ja nicht das gleiche, erst recht nicht dasselbe.

Ich habe "Gleichheit" hier als Schirmbegriff für "Idenitäten" und "Äquivalenzen" benutzt. Meine Aussage war lediglich, dass viele Zweige der Mathematik sich überhaupt nicht mit den Feinheiten solcher Begriffe beschäftigen. Wenn man über die Feinheiten reden will, muss man präziseren was man unter den jeweilige Begriffen versteht, weil es kein allgemein gültiges Verständnis davon gibt. Wo liegt denn für dich intuitiv der Unterschied?

Im Detail beschäftigen sich eigentlich nur die mathematischen Grundlagen-Disziplinen damit, wie die Mengenlehre, Typ-Theorie und Kategorien-Theorie.

Ich hätte jetzt an erster Stelle eher die Arithmetik und Algebra erwartet, bei der Identität vielleicht Mengenlehre und Geometrie.

Arithmetik, Algebra und Geometrie werden für gewöhnlich nicht zu den Grundlagen-Disziplnen gezählt. Historisch betrachtet sind diese Disziplinen vielleicht älter, aber in der Gegenwart setzen diese Bereiche meist informell die Zermelo–Fraenkel Mengenlehre mit dem Axiom-of-Choice voraus und bauen darauf auf. Deswegen gilt die Mengenlehre heute als defakto Fundament der Mathematik. In der theoretischen Informatik, besonders in der Programmmiersprachen-Forschung, bilden dagegen die Typ-Theorie und die Kategorien-Theorie das defakto Fundament.

Zu diesen Nerds zähle ich mich nicht. Ich nutze die Mathematik als Mittel zum Zweck, habe aber kein Interesse, tiefer einzusteigen.

Jedem das Seine. Ich bin auch eher auf der Anwenderseite, ich benutze Beweis-Assistenten bei meiner Arbeit, um Eigenschaften verteilter Netzwerke zu demonstrieren. Aber das hat in mir das Interesse geweckt, die theoretischen Grundlagen dieser Assistenten verstehen zu wollen. Das ist aber nur Hobby.

[Der Martin]

Hi,

aber Gleichheit und Identität sind ja nicht das gleiche, erst recht nicht dasselbe.

Ich habe "Gleichheit" hier als Schirmbegriff für "Idenitäten" und "Äquivalenzen" benutzt. [...] Wo liegt denn für dich intuitiv der Unterschied?

ein konstruiertes Beispiel aus dem Alltag: Wenn ich mit meiner Freundin essen gehe, sie bestellt das Hühnercurry mit Reis, und ich sage: "Ich möchte bitte dasselbe", dann sollte der Kellner (vielleicht etwas überrascht) einen Teller Hühnercurry servieren, vielleicht mit zwei Sätzen Besteck. Dann ist unser beider Mittagessen identisch. Verlange ich aber für mich "das gleiche", dann bekomme ich einen eigenen Teller, der nach dem gleichen Schema bestückt ist. Das ist das, was die meisten eigentlich meinen, wenn sie "dasselbe" sagen.

Beispiel aus der Geometrie: Zwei Dreiecke stimmen in allen drei Seitenlängen (einschließlich Umlaufsinn) überein. Dann sind sie kongruent (deckungsgleich) oder einfach gleich. Stimmen sie auch noch in den drei Eckpunkten überein, sind sie identisch.

Ich hätte jetzt an erster Stelle eher die Arithmetik und Algebra erwartet, bei der Identität vielleicht Mengenlehre und Geometrie.

Arithmetik, Algebra und Geometrie werden für gewöhnlich nicht zu den Grundlagen-Disziplnen gezählt.

Hmm. Hätte ich jetzt eigentlich erwartet.

Historisch betrachtet sind diese Disziplinen vielleicht älter, aber in der Gegenwart setzen diese Bereiche meist informell die Zermelo–Fraenkel Mengenlehre mit dem Axiom-of-Choice voraus und bauen darauf auf. Deswegen gilt die Mengenlehre heute als defakto Fundament der Mathematik. In der theoretischen Informatik, besonders in der Programmmiersprachen-Forschung, bilden dagegen die Typ-Theorie und die Kategorien-Theorie das defakto Fundament.

Böhmische Dörfer. :-(

Zu diesen Nerds zähle ich mich nicht. Ich nutze die Mathematik als Mittel zum Zweck, habe aber kein Interesse, tiefer einzusteigen.

Jedem das Seine. Ich bin auch eher auf der Anwenderseite, ich benutze Beweis-Assistenten bei meiner Arbeit, um Eigenschaften verteilter Netzwerke zu demonstrieren. Aber das hat in mir das Interesse geweckt, die theoretischen Grundlagen dieser Assistenten verstehen zu wollen. Das ist aber nur Hobby.

Wie du schon sagst: Jedem das Seine.

Live long and pros healthy,
 Martin

[1unitedpower]

Beispiel aus der Geometrie: Zwei Dreiecke stimmen in allen drei Seitenlängen (einschließlich Umlaufsinn) überein. Dann sind sie kongruent (deckungsgleich) oder einfach gleich. Stimmen sie auch noch in den drei Eckpunkten überein, sind sie identisch.

Fair enough. Unter dieser Interpretation hilft dir vermutlich diese Lesart von Rolfs Formel:

$$(a \equiv b )(\mod m)$$ ist definiert als $$(a \mod m) = (b \mod m)$$

Die Notation ist aber wirklich verwirrend. Es ist eher selten in der Mathematik einen Infix-Operator mit einem Postifx-Ausdruck zu parametrisieren. Besser lesbar fände ich bspw:

$$a \equiv_{(\mod m)} b $$

Ich hätte jetzt an erster Stelle eher die Arithmetik und Algebra erwartet, bei der Identität vielleicht Mengenlehre und Geometrie.

Arithmetik, Algebra und Geometrie werden für gewöhnlich nicht zu den Grundlagen-Disziplnen gezählt.

Hmm. Hätte ich jetzt eigentlich erwartet.

Um das nochmal zu verdeutlichen, die Grundlagen-Disziplinen beschäftigen sich mit den kleinsten Bausteinen der Mathematik. Das heißt nicht, dass andere Disziplinen weniger wichtig sind oder nicht in ein Grundstudium gehören. Um mal eine Analogie aus dem Bau zu bemühen: Die Grundlagen-Mathematiker rühren den Mörtel an, den die Maurer benutzen, um den Flughafen zu bauen, den sich die Bauingeneure ausgedacht haben. Algebra und Arithmetik sind essenzielle Disiziplinen, aber sie beschäftigen sich in der Regel nicht mit dem Anrühren von Mörtel und Beton. Deshalb zählen sie nicht zu den Grundlagen-Disziplinen. Auf der anderen Seite, beschäftigen sich die Grundlagen-Disziplinen nicht mit tiefgehenden Erkenntnissen der anderen Bereiche, wie dem Fundamentalsatz der Algebra. Die Grundlagen-Disiziplinen sind chrakterisiert durch ihre Micro-Perspektive, während andere Disziplinen eher die Macro-Perspektive einnehmen. In der Praxis ist das natürlich keine scharfe Trennung, sondern nur eine grobe Einstufung nach Tendenzen.

[Der Martin]

Hallo,

Unter dieser Interpretation hilft dir vermutlich diese Lesart von Rolfs Formel:

$$(a \equiv b )(\mod m)$$ ist definiert als $$(a \mod m) = (b \mod m)$$

den rechten Teil davon hatte ich ja heute schon einmal als die für mich am besten verständliche Schreibweise bezeichnet.

Die Notation ist aber wirklich verwirrend. Es ist eher selten in der Mathematik einen Infix-Operator mit einem Postifx-Ausdruck zu parametrisieren.

Naja, beim Logarithmus ist die Notation ähnlich krude. Die Basis einfach zwischen den Funktions-Bezeichner und das Argument zu klemmen, fand ich schon immer merkwürdig.

Besser lesbar fände ich bspw:

$$a \equiv_{(\mod m)} b $$

Dem kann ich mich nicht anschließen. Das sieht für mich auch irgendwie "kaputt" aus.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo 1unitedpower,

Besser lesbar fände ich bspw:

$$a \equiv_{(\mod m)} b $$

$$a \equiv_m b$$

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Beispiel aus der Geometrie: Zwei Dreiecke stimmen in allen drei Seitenlängen (einschließlich Umlaufsinn) überein. Dann sind sie kongruent (deckungsgleich) oder einfach gleich. Stimmen sie auch noch in den drei Eckpunkten überein, sind sie identisch.

Einer reicht. 😜

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo,

Beispiel aus der Geometrie: Zwei Dreiecke stimmen in allen drei Seitenlängen (einschließlich Umlaufsinn) überein. Dann sind sie kongruent (deckungsgleich) oder einfach gleich. Stimmen sie auch noch in den drei Eckpunkten überein, sind sie identisch.

Einer reicht. 😜

nope, dann könnten sie immer noch um diesen einen Punkt gegeneinander gedreht sein. Zwei müssen es müssen es mindestens sein, wenn die Bedingung mit den Seitenlängen zusätzlich noch gilt; sonst alle drei.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Wie du schon sagst: Jedem das Seine.

Ich war unlängst kurz davor, das auch zu sagen, hab’s mir aber verkniffen.

Das war der Spruch überm Lagertor des KZ Buchenwald, dessen Befreiung sich gestern zum 75. Mal jährte.

„Buchenwald war das einzige Konzentrationslager, das diese Inschrift trug. Sie wurde vom Bauhaus-Architekten Franz Ehrlich, der bis 1943 selbst in Buchenwald inhaftiert war, auf Befehl der Nationalsozialisten entworfen. Ehrlich wählte hierfür eine als entartet eingestufte Schriftart des Bauhauses, was jedoch der Lagerleitung nie auffiel.“ [Wikipedia]

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Der Martin]

Hallo,

Wie du schon sagst: Jedem das Seine.

Ich war unlängst kurz davor, das auch zu sagen, hab’s mir aber verkniffen.

Das war der Spruch überm Lagertor des KZ Buchenwald, dessen Befreiung sich gestern zum 75. Mal jährte.

oh, das wusste ich nicht. Mit diesem Hintergrundwissen ist die Phrase dann wohl ab sofort tabu. Für mich jedenfalls.

Ehrlich wählte hierfür eine als entartet eingestufte Schriftart des Bauhauses

Ich finde die Schrift alles andere als entartet. Im Gegenteil: Schlicht-schön, aus heutiger Sicht sogar sehr modern.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Ehrlich wählte hierfür eine als entartet eingestufte Schriftart des Bauhauses

Ich finde die Schrift alles andere als entartet.

Die Nazis hatten ihre eigene Vorstellung davon, was entartet ist.

Im Gegenteil: Schlicht-schön, aus heutiger Sicht sogar sehr modern.

Bauhaus eben.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Das war der Spruch überm Lagertor des KZ Buchenwald, dessen Befreiung sich gestern zum 75. Mal jährte.

Ja, hm. Das ist so eine Sache. Wenn man alles, was die Nazis missbraucht oder getan haben, nicht mehr anfassen will, wird so einiges unberührbar.

"Jedem das Seine" findet sich in so vielen Kontexten, die durchaus respektabel sind, dass man sich für diese Redewendung meiner Meinung nach nicht schämen muss.

Es muss sich ja auch kein Sportler schämen, an Olympia teilzunehmen oder im Berliner Olympiastadion Sport zu treiben, nur weil Olympia '36 eine deutsche Propagandaveranstaltung war.

Es muss sich ja auch keiner dafür schämen, eine Autobahn zu benutzen, nur weil die Nazis die Idee „Autobahn“ (fälschlich) als die ihrige beanspruchten.

Es muss sich auch kein Fluglotse schämen, auf den Radarschirm zu schauen, nur weil die GEMA ein Funkmessgerät entwickelt hat (nein, nicht die GEMA).

Rolf

[ottogal]

Wieso ist $$3^{2k} \equiv 1 \mod 8$$

Es gilt sogar:
Für jede ungerade Zahl $$n$$ ist $$\quad n^2 \equiv 1 \mod 8$$

Beweis: Zusatzaufgabe!

[ottogal]

Lösung:

Sei $$n=2k+1$$ mit der natürlichen Zahl $$k$$.
Dann ist $$n^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$$.
Das Produkt $$k(k+1)$$ ist durch 2 teilbar, weil eine der Zahlen $$k$$ und $$k+1$$ sicher gerade ist.
Somit ist $$4k(k+1)$$ durch 8 teilbar.

[ottogal]

$$9a \equiv a \mod 9$$

Und jetzt hast du mich ganz abgehängt. Wieso soll das Neunfache einer Zahl identisch mit ihrem Divisionsrest durch Neun sein?

Die Gleichung besagt nicht, dass $$9a$$ identisch ist mit $$\quad a\mod 9$$,
sondern dass $$9a$$ und $$a$$ den gleichen Neunerrest haben.

Das ist aber klar: Hat $$a$$ z.B. den Neunerrest $$x$$, dann summiert sich das bei $$9a$$ auf $$9x$$, was aber wiederum durch 9 teilbar ist.

[Rolf B]

Hallo ottogal,

willkommen auf der Müllhalde, du hast den gleichen Denkfehler wie ich gemacht.

Der Neunerrest von 9a ist immer 0. Für a gilt das aber nur in etwas mehr als 1/9 aller Fälle.

Rolf

[ottogal]

Bitte ignorieren, da hab ich mir ins Knie geschossen...

[Der Martin]

Hallo,

$$9a \equiv a \mod 9$$

Und jetzt hast du mich ganz abgehängt. Wieso soll das Neunfache einer Zahl identisch mit ihrem Divisionsrest durch Neun sein?

Die Gleichung besagt nicht, dass $$9a$$ identisch ist mit $$\quad a\mod 9$$,
sondern dass $$9a$$ und $$a$$ den gleichen Neunerrest haben.

dann erkläre mir bitte die Notation. Danke schon vorab.

Live long and pros healthy,
 Martin

[ottogal]

https://mathepedia.de/Kongruenzen.html

[Der Martin]

Hallo,

https://mathepedia.de/Kongruenzen.html

danke, ist mir völlig neu. Kann mich nicht erinnern, jemals in der Schule davon gehört zu haben (trotz Mathe-Leistungskurs).

Live long and pros healthy,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

https://mathepedia.de/Kongruenzen.html

danke, ist mir völlig neu. Kann mich nicht erinnern, jemals in der Schule davon gehört zu haben (trotz Mathe-Leistungskurs).

Ist meines Wissens derzeit in keinem Lehrplan irgendeines Bundeslandes.

Es gibt verschiedene Schreibweisen. Bezogen auf deine Argumentation bezüglich der Äquivalenz sollte dir $$a \equiv_m b$$ am sympathischsten sein.

Bis demnächst
Matthias

[ottogal]

Das Missverständnis kommt daher, dass $$\quad mod \quad$$ in unterschiedlicher Weise verwendet wird:

1.) Als binärer Operator:
$$ a \mod b \quad$$ steht für den Rest bei der Division von $$a$$ durch $$b $$.
Z.B. ist $$\quad 25 \mod 7 = 4$$.
Den Operator gibt es in vielen Programmiersprachen, oft in der Form $$a$$ % $$ b$$.

2.) Um bei einer Kongruenz $$\quad a \equiv b \quad$$ den Divisor zu benennen:
In $$\quad a \equiv b \mod c\quad$$ ist $$\quad mod \quad$$ nicht ein Operator zwischen den Operanden $$b$$ und $$c$$.
Deutlicher wäre die Schreibweise $$\quad a \equiv b \quad (\mod c \quad)$$.
Dies ist gleichwertig mit der Aussage
$$ a \mod c = b \mod c \quad$$
wobei hier $$\quad mod \quad$$ als Operator gemeint ist.

Dies in Betracht gezogen, ist der Tabellenkopf in @Matthias Apsel's Tabelle auch etwas verwirrend:
Es müsste statt $$\quad p \equiv r \mod 8\quad$$ besser $$\quad r = p \mod 8\quad$$ heißen.

[Der Martin]

Hallo,

2.) Um bei einer Kongruenz $$\quad a \equiv b \quad$$ den Divisor zu benennen:

wie schon erwähnt, war mir der Begriff der Kongruenz in diesem Kontext bisher unbekannt. Ich kannte Kongruenz bisher nur als geometrischen Begriff.

Deutlicher wäre die Schreibweise $$\quad a \equiv b \quad (\mod c \quad)$$.

Ja, so ist es etwas klarer.

Dies ist gleichwertig mit der Aussage
$$ a \mod c = b \mod c $$

Warum nicht gleich so? ;-)
Das ist eine klare, leicht verständliche Aussage bzw. Schreibweise.

Live long and pros healthy,
 Martin

PS: Wofür sollen die vielen \quad in deinen MathML-Fetzen gut sein? Ich habe den Eindruck, dass die nichts bewirken: Lösche ich sie raus, ist das Ergebnis unverändert.

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

PS: Wofür sollen die vielen \quad in deinen MathML-Fetzen gut sein? Ich habe den Eindruck, dass die nichts bewirken: Lösche ich sie raus, ist das Ergebnis unverändert.

\quad erzeugt einen größeren Abstand als ein normales Leerzeichen.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Moin Matthias,

PS: Wofür sollen die vielen \quad in deinen MathML-Fetzen gut sein? Ich habe den Eindruck, dass die nichts bewirken: Lösche ich sie raus, ist das Ergebnis unverändert.

\quad erzeugt einen größeren Abstand als ein normales Leerzeichen.

ach so ... mal ein paar Beispiele kritisch anschauen ... ja, scheint so.
Danke für die Klärung.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

PS: Wofür sollen die vielen \quad in deinen MathML-Fetzen gut sein? Ich habe den Eindruck, dass die nichts bewirken: Lösche ich sie raus, ist das Ergebnis unverändert.

\quad erzeugt einen größeren Abstand als ein normales Leerzeichen.

Wer ’ nicht von ' unterscheiden kann, kann auch ein breiten Leerraum nicht von einem normalen Leerzeichen unterscheiden. 😈

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Der Martin]

Hallo,

PS: Wofür sollen die vielen \quad in deinen MathML-Fetzen gut sein? Ich habe den Eindruck, dass die nichts bewirken: Lösche ich sie raus, ist das Ergebnis unverändert.

\quad erzeugt einen größeren Abstand als ein normales Leerzeichen.

Wer ’ nicht von ' unterscheiden kann, kann auch ein breiten Leerraum nicht von einem normalen Leerzeichen unterscheiden. 😈

ich verstehe die Anspielung durchaus und muss deshalb widersprechen: Ich kann sie sehr wohl unterscheiden. Das ist ja der Grund, warum ich \x27 (oder \x22) bevorzuge. Sonst wär's mir ja egal.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Ich kann sie sehr wohl unterscheiden.

Unwissenheit wäre ja noch entschuldbar, aber …

Das ist ja der Grund, warum ich \x27 (oder \x22) bevorzuge.

… das macht es noch schlimmer.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!